Кошевая Виолетта

Софизм (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка) – умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества(5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Софизмы и парадоксы Работу выполнила: Кошевая Виолетта, 11 «Б» класс Учитель: Кончина Г.К. 2015 год

Софизм (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка) – умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Что такое софизм?

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества(5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Экскурс в историю.

Классификация софизмов Логические Алгебраические софизмы Геометрические софизмы

« Один рубль не равен ста копейкам» Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d , то ac = bd . Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам и 10 рублей = 1000 копеек Перемножая эти равенства почленно, получим 10 рублей = 100 000 копеек и разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек Таким образом, один рубль не равен ста копейкам. Где ошибка?

проверим Разбор софизма: Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

«Дважды два - пять» Напишем тождество 4:4=5:5. Вынесем из каждой части тождества общие множители за скобки, получаем: 4(1:1)=5(1:1) или 2*2=5 Так как 1:1=1 , то сократим и получим Где ошибка?

проверим Разбор софизма. Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1).

« Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c , b = a + c . Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b 2 - ab = ca + c 2 . Вычтем из обеих частей bc . Получим: b 2 - ab - bc = ca + c 2 - bc , или b (b - a - c) = - c (b - a - c), откуда b = - c , но c = b - a , поэтому b = a - b , или a = 2b. Где ошибка???

проверим В выражении b (b-a-c)= - c (b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

«Полупустое и полуполное» «Полупустое есть то же, что и полу полное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Разбор софизма. Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно. проверим

«Софизм учебы » песенка, сочиненная английскими студентами: The more you study, the more you know The more you know, the more you forget The more you forget, the less you know The less you know, the less you forget The less you forget, the more you know So why study ? Перевод. Чем больше учишься, тем больше знаешь. Чем больше знаешь, тем больше забываешь. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь. Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь. Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь. Так для чего учиться?

Парадокс (греч. "пара" - "против", " докса " - "мнение") близок к софизму. Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат. Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу (словарь Ожегова). В широком смысле парадокс - высказывание, истинность которого неочевидна. Парадоксальными называются любые неожиданные противоречивые высказывания. Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь. Парадоксы

Ахиллес и черепаха движутся по прямой в одну и ту же сторону, черепаха находится на расстоянии 1000 метров впереди Ахиллеса. Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем ползёт черепаха. Ахиллес никогда не догонит черепаху. «Парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе».

Ахиллес никогда не догонит черепаху, ведь пока он пробежит 1000 метров до того места, где находилась черепаха, та уже отползёт на 100 метров вперёд. Когда же Ахиллес пробежит и эти 100 метров, черепаха отползёт ещё немного дальше. Это будет продолжаться бесконечно: каждый раз, когда Ахиллес бежит до места, где была черепаха, она уже отползёт на некоторое расстояние. «Доказательство»

Критянин Эпименид сказал: "Все критяне лжецы". Эпименид сам критянин. Следовательно, он лжец. Но если Эпименид лгун, тогда его заявление, что все критяне лгуны - ложно. Значит, критяне не лгуны. Между тем Эпименид, как определено условием, критянин, следовательно, он не лгун, и поэтому его утверждение "все критяне лгуны" - истинно. «Парадокс лжеца»

В некой деревне, где жил единственный парикмахер-мужчина, был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Спрашивается, может ли парикмахер брить сам себя? Как будто не может, поскольку это запрещено указом. И вместе с тем, если он не бреет себя, значит, попадает в число тех жителей, которые не бреются сами, а таких людей парикмахер имеет право брить. «Парадокс парикмахера»

Два приятеля однажды вели такой разговор. - Видишь кучу песка? - спросил первый. - Я-то её вижу, - ответил второй, - но её нет на самом деле. - Почему? - удивился первый. - Очень просто, - ответил второй. - Давай рассудим: одна песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если n песчинок не могут образовать кучи песка, то и после прибавления ещё одной песчинки они по-прежнему не могут образовать кучи. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучи, т. е. кучи песка нет. «Парадокс кучи»

ПАРАДОКС - это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Парадокс в более узком и более современном значении – это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргументы. Софизмы являются логически неправильными рассуждениями, выдаваемыми за правильные и доказательные. Софизм – это обман. Но обман тонкий и закамуфлированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Вывод:

Список литературы. А.Г. Мадера, Д.А. Мадера «Математические софизмы» Москва, «Просвещение», 2003г. Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка» Москва, «Просвещение», 1988г. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004г Литература

СодержаниеВведение
Древние софизмы
Числовые софизмы
Геометрические софизмы
Выводы

Что такое софизм?

Софизм (от греческого sophismaуловка, выдумка, головоломка)- логически
неправильное рассуждение, выдаваемое
за правильное.
Математический софизм- удивительное
утверждение, в доказательстве которого
кроются незаметные, а подчас и довольно
тонкие ошибки.
Эффектная демонстрация явно
неверного доказательства- в этом и
состоит смысл софизма.

Древние софизмы

Где появились софизмы?
В Древней Греции.
Для чего они создавались? С какой
целью?
Появление софизмов заставило
задуматься математиков о
логическом строении геометрии и
арифметики.
Кто придумал математические софизмы?
мудрец Зенон Элейский
в V веке до нашей эры.

Древние софизмы

Древний софизм «Рогатый»
Равен ли полный стакан пустому
Последние годы нашей жизни короче,
чем первые.

Древний софизм «Рогатый»

То, что ты не потерял, то и
имеешь. Ты не потерял рога,
следовательно, ты их имеешь.
Где ошибка?
ответ

Равен ли полный стакан пустому?

Оказывается, что да.
Пусть есть стакан, наполненный водой до
половины.
Тогда стакан, наполовину полный, равен стакану,
наполовину пустому.
Увеличим обе части равенства вдвое, получим, что
стакан полный равен стакану пустому.
=
Где ошибка?
ответ

Последние годы нашей жизни короче, чем первые

Известно изречение: в молодости идет время
медленнее, а в старости скорее. Это изречение
можно доказать математически.
Человек в течение тридцатого года жизни
проживает 1/30 часть своей жизни, в течение
семидесятого -1/70 часть жизни. Очевидно, что
1/30>1/70. Откуда ясно, что последние годы
жизни короче первых.
Не подвела ли математика?
ответ

Числовые софизмы

2=3
5=6
2·2=5
1=0, или уравнение x-a=0
не имеет решения

2=3

Рассмотрим очевидное равенство:
(2-5/2)2=(3-5/2)2
Тогда
(2-5/2)=(3-5/2)
Прибавив к обеим частям равенства по 5/2,
получим
2=3
Где ошибка?
ответы

5=6

Возьмем тождество:
35+10-45=42+12-54
Вынесем за скобки общий
множитель:
5·(7+2-9)=6·(7+2-9)
Разделим обе части на (7+2-9)
Получим 5=6
ответ

2·2=5

Напишем тождество:
4:4=5:5
Вынесем в каждой части общие
множители за скобки:
4·(1:1)=5·(1:1)
Так как 1:1=1, то 4=5, или
2·2=5
ответ

1=0, или уравнение х-а=0 не имеет корней

Дано уравнение x-a=0
Имеем:
(X-A)
0
=
(X-A)
(X-A)
1=0
Так как это равенство неверное, то
исходное уравнение не имеет
корней.
ответ

Геометрические софизмы

Пусть ΔАВСпроизвольный.
Проведем биссектрису
угла В и серединный
перпендикуляр к
отрезку АС.
Точку их пересечения
обозначим М.
Т.к. MD- высота и
медиана в ΔАМС, то он
равнобедренный
и АМ=МС
А
В
м
D
С

Геометрические софизмы

Опустим из точки М
перпендикуляры МЕ и MF на
стороны АВ и ВС
соответственно.
Из равенства треугольников
ВЕМ и ВFМ следует, что
МЕ=MF, ВЕ=BF.
В
E
F
м
А
D
С

Геометрические софизмы

Следовательно,
прямоугольные
треугольники АМЕ и
CMF равны:
у них равны
гипотенузы (АМ и МС)
и катеты (ME и MF)
значит AE=CF.
Итак, АЕ=СF, BE=BF
Следует, что AB=BC.
Возник парадокс: все
треугольники
равнобедренные
В
E
F
м
А
D
C

Геометрические софизмы

Ошибка в чертеже. Правильный
чертеж:
В
E
А
F
D
M
С

Выводы:

1.
2.
3.
познакомились с понятием
математические софизмы;
научились искать замаскированные
ошибки;
осознали:
важность правильных, корректных
записей и чертежей
недопустимость выполнения запрещенных
действий
важность учета применимости теорем,
формул и правил.

Ответы «Рогатый»

Ошибка здесь состоит в неправильном
переходе от общего правила к частному
случаю, который этим правилом не
предусмотрен.
Действительно, то, что ты не потерял,
подразумевает под словом «то» - все,
что ты имеешь, и ясно, что в него не
включены «рога».
Поэтому заключение «ты имеешь рога»
неправомерно.
назад

«Равен ли полный стакан пустому»

Приведенное рассуждение
неверно, так как в нем
применяется неправильное
действие: увеличение вдвое. В
данной ситуации его
применение бессмысленно.
назад

Ответ. «Последние годы нашей жизни короче, чем первые»

Действительно, 1/30>1/40>1/50.
Но неверно утверждение, что в
течение тридцатого года человек
проживает 1/30 часть жизни, он
проживает 1/30 только той части
жизни, которую он к этому моменту
прожил, но именно части, а не всей
жизни. Нельзя сравнивать между
собой части различных отрезков
времени.
назад

2=3

Если (2-5/2)2=(3-5/2)2, то
правильным следствием
должно быть
Ι2-5/2Ι=Ι3-5/2Ι, откуда следует
Ι-½Ι=Ι½Ι,
а вовсе не равенство 2-5/2=3-5/2
назад

5=6

Ошибка допущена при делении
верного равенства
5·(7+2-9)=6·(7+2-9)
на число (7+2-9), равное нулю.
Этого делать нельзя.
Любое равенство можно делить
только на число,
отличное от нуля!
назад

2·2=5

4:4=5:5
4/4=5/5
Вынесем общие множители:
4·1/4=5·1/5
В результате у нас не образуется общий
множитель, а в предложенном
доказательстве он был получен
вследствие некорректных действий:
4:4=4·(1:1)
назад

Уравнение х-а=0 не имеет корней, или 1=0

Так как х-а – корень
уравнения, то разделив
на (х-а) обе части,
мы потеряли этот корень
и поэтому получили неверное
равенство 1=0.
назад

Cлайд 1

Cлайд 2

Немного из истории софизма Термин “софизм” впервые был введён Аристотелем, происходит от древнегреческого слова sophisma - «мастерство, хитрая уловка, выдумка, мнимая мудрость».

Cлайд 3

Примеры софизмов, знаменитых ещё в древности «Что ты не терял, то имеешь; рога ты не терял; значит у тебя есть рога» «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит» «Этот пес твой; он отец; значит, он твой отец» «- Знаете ли вы, о чем я сейчас хочу вас спросить? - Нет. - Неужели вы не знаете, что лгать нехорошо? - Конечно, знаю. - Но именно об этом я и собирался вас спросить, а вы ответили, что не знаете; выходит, вы знаете то, чего вы не знаете»

Cлайд 4

Софизмы существуют уже более двух тысячелетий. Их возникновение обычно связывается с философской деятельностью софистов (Древняя Греция V-IV вв. до н.э.) - платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Самые известные представители направления софистики в Древней Греции - Протагор, Горгий, Продик.

Cлайд 5

Классификация софизмов Лекарства «Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше». Вор «Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего». логические алгебраические Единица равна нулю Возьмем уравнение х-а=0, разделим обе части уравнения на (х-а), получаем (х-а)/(х-а)=0/(х-а) и отсюда 1=0. Ошибка: Ошибка в том, что х-а равно нулю, а на ноль делить нельзя.

Cлайд 6

терминологические «Все углы треугольника = π» в смысле «Сумма углов треугольника = π» «сколько пять плюс два умножить на два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (т.е. 5 + (2*2)) или 14 (т.е. (5 + 2) * 2). . арифметические Один рубль не равен ста копейкам. 1 р.= 100 коп. 10 р.= 1000 коп. Умножим обе части этих верных равенств, получим: 10 р.= 100000 коп., откуда следует: 1 р.= 10000 коп., т.е. 1 р. не равен 100 коп. Ошибка: Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Cлайд 7

геометрические «из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра» Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВDС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и В D перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Cлайд 8

Чем же полезны софизмы для изучающих физику? Что они могут дать? Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ. Ценно, не то, что ошибок не совершил, а то, что нашел причину ошибки и устранил её.

• 1.познакомится с определением софизма;

2.изучить историю появления софизмов, их роль в развитии математики;

3.рассмотреть примеры математических софизмов, найти ошибки в рассуждениях;

4.составить перечень ошибок;

5.составить собственные софизмы.

• Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное

утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

• № 1 5=6

Возьмём числовое тождество

35+10-45=42+12-54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5(7+2-9)=6(7+2-9). Разделим обе части на общий множитель, заключенный в скобки. Получим 5=6

• № 2 2 · 2=5

Имеем числовое равенство 4:4=5:5. Вынесем за скобки в каждой части общий множитель: 4(1:1)=5(1:1). Числа в скобках равны, поэтому 4=5, 2 · 2=5

• № 3 5=1

Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем 3, получим числа 2 и -2. При возведении в квадрат из них получаются равные числа 4 и 4 ,значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Где ошибка?

• № 4 4 рубля=40000 копеек

Возьмем равенство 2р.=200к., возведем его в квадрат 4р.=40000к. В чем ошибка?

• Решив эти задачи, можно заметить, что в математических софизмах были допущены следующие ошибки:

1.Деление на 0 (№1)

2.Неправильные выводы из равенства дробей (№2)

3.Неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения (№3)

4.Нарушения правил действия с именованными величинами (№4)

Слайд 2

Цель проекта: Значение математических софизмов в развитии логического мышления школьников.

Задачи проекта: Познакомиться с понятием – софизм. Рассмотреть примеры математических софизмов. Провести исследование по школе среди учащихся 6-х, 7-х и 9-х классов. Проанализировать полученные результаты. Используемые методы: Изучение литературы Решение математических задач Сбор и обработка данных с помощью информационных технологий Создание презентации

Слайд 3

Что такое софизм

Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений. Виды математических софизмов: Арифметические софизмы Алгебраические софизмы Геометрические софизмы Правильно понятая ошибка – это путь к открытию И.П. Павлов.

Слайд 4

Примеры алгебраических софизмов

Пример 1. 1 р. = 10 000 к. Возьмём верное равенство: 1 р. = 100 к. Возведём его по частям в квадрат. Мы получим: 1 р. = 10 000 к. Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа. Пример 2 5=6 Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество: 35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки). Получаем 5=6 Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.

Слайд 5

Примеры геометрических софизмов

Загадочное исчезновение У нас есть произвольный прямоугольник, на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга, так, как показано на рис. 1. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно. Вопрос: Куда исчезла 13-я линия? Ответ: 13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины. «Новое доказательство» теоремы Пифагора Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом , противолежащим катету a. Имеем: a = c sin , b = c cos , откуда a2 = c2 sin2, b2 = c2 cos2. Просуммировав по частям эти равенства, получаем: a2 + b2 = c2 (sin2 + cos2). Но sin2 + cos2 = 1, и поэтому a2 + b2 = c2. Вопрос: В чём ошибка? Ответ: Ошибки здесь нет. Но формула sin2 + cos2 = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора. N M Рис. 1

Слайд 6

Проведение исследования

Тема исследования «Нахождение ошибки в доказательстве софизма» Метод исследования – эксперимент Участники исследования – учащиеся 6,7,9 классов школы Задача исследования: возможность нахождения ошибки в доказательстве софизма

Слайд 7

Нахождение ошибки в доказательстве софизмов

Алгебраические софизмы Пример 1.1 р. = 10 000 к. Пример 2.5 = 6 Пример 3.2 + 2 = 5 Пример 4.Любое число равно его половине Пример 5.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пример 6.Любое число = 0 Геометрические софизмы Пример 1.Загадочное исчезновение. Пример 2.Земля и апельсин. Пример 3.Два перпендикуляра. Пример 4.«Новое доказательство» теоремы Пифагора.

Слайд 8

Основные ошибки в софизмах

Деление на 0; неправильные выводы из равенства дробей; неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения; нарушения правил действия с именованными величинами; путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств; проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла; неравносильный переход от одного неравенства к другому; выводы и вычисления по неверно построенным чертежам; ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.