В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки " + " , " · " , " - " , " ÷ " , то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Пример 1. Значение числового выражения

Пусть нужно найти значения выражения 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Пример 2. Значение числового выражения

Вычислим: 0 , 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 .

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

0 , 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 · 4 11 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) .

В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом - умножение.

0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) = 0 , 5 · 0 , 7 = 0 , 35 .

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Вычислим значение 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 2 , 5 = 1 + 2 · 6 = 13 .

В нахождении значений выражений со скобками главное - соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Вычислим значение выражения с корнями - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 .

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 , 2 + 0 , 05 = 2 , 25 = 1 , 5 .

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 + 3 · 1 , 5 = 6 , 5

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Сколько будет 3 + 1 3 - 1 - 1

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Таким образом:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 .

Начинаем вычислять по порядку.

2 3 · 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0 , 5 3 = 16 · 1 8 = 2 .

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 · 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Вычислим значение следующего выражения: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6

2 - 2 5 · 2 2 5 - 1 + 3 1 3 · 6 = 2 - 2 5 · 2 2 · 5 - 2 + 3 2 = 2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 · 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3 , 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 · 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

1 , 6 - 3 · 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Вычислим выражение 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Исходное выражение принимает вид:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Вычислим значение этого выражения:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log 2 4 + 2 · 4 можно сразу вместо log 2 4 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log 2 4 + 2 · 4 = 2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10 .

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Имеем:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

Найдем значение выражения log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

По свойству логарифмов:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 · 3) = log 6 6 = 1 .

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Найдите значение выражения: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ .

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

sin - 5 π 2 = - 1

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3 .

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Нужно найти значение выражения cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 .

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения

1. Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
2. Выполняются действия в скобках.
3. Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала - умножение и деление, затем - сложение и вычитание.

Разберем пример.

Пример 14. Значение числового выражения

Вычислим, чему равно значение выражения - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.

Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 . Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π

Теперь можно узнать значение синуса:

sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2 .

Со знаменателем дроби все проще:

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

С учетом этого, запишем все выражение:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Окончательный результат:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27 .

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2 · 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 · 0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс - использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями - сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.

Например, возьмем выражение 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 - 1 5 + 3 · 289 · 3 4 . Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 1 3 .

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Пример 15. Значение выражения с переменными

Вычислить значение выражения 0 , 5 x - y при заданных x = 2 , 4 и y = 5 .

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

0 , 5 x - y = 0 , 5 · 2 , 4 - 5 = 1 , 2 - 5 = - 3 , 8 .

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение х + 3 - х, очевидно, имеет значение 3 , и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.

Еще один пример. Значение выражения x x равно единице для всех положительных иксов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Формула

Сложение, вычитание, умножение, деление - арифметические действия (или арифметические операции ). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:

+ (читаем "плюс ") - знак операции сложения,

- (читаем "минус ") - знак операции вычитания,

∙ (читаем "умножить ") - знак операции умножения,

: (читаем "разделить ") - знак операции деления.

Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением. В числовом выражении могут присутствовать также скобки Например, запись 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.

Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения . Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства «=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.

Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением . В этой записи могут присутствовать скобки. Например, запись a + b - 3 ∙ c является буквенным выражением. Вместо букв в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными .

Подставив в буквенное выражение числа вместо букв и вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв (при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.

Буквенное выражение может не иметь значения, если при подстановке значений букв получается числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено. Такое числовое выражение называется некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено» для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла» . Например, буквенное выражение a - b не имеет значения при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея всего 10 яблок (a = 10), нельзя отдать из них 17 (b = 17)!

В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.

Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла) , т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для любого натурального числа b, частное b: 0 не определено.

Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют формулой . Например, если стороны семиугольника равны a, b, c, d, e, f, g , то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p имеет вид:

p = a + b + c + d + e + f + g

При a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

При a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Блок 1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из параграфа. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением клеток словаря еще раз внимательно просмотреть параграф.

1. Операции: сложение, вычитание, умножение, деление.

2.Знаки «+» (плюс), «-» (минус), «∙» (умножить, «: » (разделить).

3.Запись, состоящая из чисел, которые связанны между собой знаками арифметических действий и в которой могут присутствовать также скобки.

4.Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.

5. Знак, стоящий перед значением числового выражения.

6. Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий (могут присутствовать также скобки).

7. Общее название букв в буквенном выражении.

8. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.

9.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.

10. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.

11. Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения, записанные в буквенном виде.

12. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.

Блок 2. Установите соответствие

Установите соответствие между заданием в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде: 1а, 2г, 3б…

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения

Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что их можно решать на компьютере, проверять решения и сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.

1. Дан треугольник со сторонами c, d, m, выраженными в см
2. Дан четырехугольник со сторонами b, c, d, m , выраженными в м
3. Скорость автомобиля в км/ч равна b, время движения в часах равно d
4. Расстояние, которое преодолел турист за m часов, составляет с км
5. Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m км/ч, составляет b км
6. Сумма двух чисел больше второго числа на 15
7. Разность меньше уменьшаемого на 7
8. Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом из рядов палубы m мест, рядов на палубе на n больше, чем мест в ряду
9. Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Значение данного выражения
2. Буквенное выражение для периметра имеет вид
3. Периметр, выраженный в сантиметрах
4. Формула пути s, пройденного автомобилем
5. Формула скорости v, движения туриста
6. Формула времени t, движения туриста
7. Путь, пройденный автомобилем в километрах
8. Скорость туриста в километрах в час
9. Время движения туриста в часах
10. Первое число равно…
11. Вычитаемое равно….
12. Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
13. Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
14. Буквенное выражение для возраста Кати
15. Возраст Кати
16. Координата точки В, если координата точки С равна t
17. Координата точки D, если координата точки С равна t
18. Координата точки А, если координата точки С равна t
19. Длина отрезка BD на числовом луче
20. Длина отрезка CА на числовом луче
21. Длина отрезка DА на числовом луче

В пп. 8.2.1 было показано, что алгебраические понятия являются средствами обобщения, языком описания арифметических действий. Понятие математического выражения иной природы, чем понятия сложения, вычитания, умножения и деления. Отношения между эти­ми понятиями можно считать отношениями формы и содержания: математические выражения являются одной из форм знакового, пись­менного обозначения арифметических действий. Числовое выраже­ние можно считать также одной из форм числа, так как каждое чис­ловое выражение имеет единственное числовое значение - число.

Выражения появляются в обучении математике, как только в пер­вом классе появляются записи вида 2 + 3, 4 - 3 при изучении дей-

ствий сложения и вычитания. Вначале их так и называют: запись сложения, запись вычитания. Как известно, эти записи имеют и име­на собственные: «сумма», «разность», которые могут быть введены на одном уроке вместе с соответствующими действиями или через некоторое время. А понятие выражения предметом изучения следует делать только после того, как у учащихся уже будет некоторый прак­тический опыт действий с такими записями. При этом учитель может использовать термин «выражение» в своей речи, не требуя от де­тей его употребления, но вводя его в пассивную лексику учащихся. Именно так происходит, когда повседневной жизни, когда дети слы­шат новое слово, отнесенное к визуально выделенному объекту. На­пример, указывая на записи сложения и вычитания через несколько уроков после введения этих действий, учитель говорит: «Прочитайте эти записи, эти выражения: …», «Найдите в учебнике под № … вы­ражение, в котором из семи нужно вычесть три. …», «Рассмотрите эти выражения (показывает на доске). Прочитайте то, которое по­зволяет найти число, на 3 большее чем 5, в котором есть число, на 3 большее чем 5; на 3 меньшее чем 5».

При изучении числовых выражений в начальной школе рассма­тривают следующие понятия и способы действий.

Понятия: математическое выражение, числовое выражение (выражение), виды числовых выражений (в одно действие и в не­сколько действий; со скобками и без скобок; содержащие действия одной ступени и действия двух ступеней); числовое значение выра­жения; правила порядка действий; сравнение отношений.

Способы действий: чтение выражений в одно - два дей­ствия; запись выражений под диктовку в одно - два действия; определение порядка действий; вычисление значения выражений по правилам порядка действий; сравнение двух числовых выра­жений; преобразование выражений - замена одного выражения равным ему другим на основе свойств действий.

Введение понятий. Урок введения понятия выражения полезно начать с обсуждения записей. Какие бывают записи? Зачем люди пи­шут? Зачем вы учитесь писать? Какие записи мы делаем при изуче­нии математики? (Дети обращаются к своим тетрадям, к учебнику, к заранее подготовленным карточкам с примерами записей из тех, которые за период обучения делали учащиеся.) На какие группы можно разделить записи при изучении математики?

В результате такого обсуждения акцентируем внимание на двух основных группах записей: запись чисел и запись арифметических действий. Записи арифметических действий, в свою очередь, делим на две группы: без вычислений и с вычислениями, т. е. вида 2 + 3 и 2 + 3 = 5. На основании этой классификации сообщаем учащимся, что за­пись сложения и вычитания вида 2 + 3и7-5,а также любую запись составленную из таких записей, например, 2 + 3-4, 7 - 5 - 1 и подоб­ные им, принято называть (договорились называть) математическим

выражением, или просто выражением. Далее, как и при введении других понятий, необходимо выполнение заданий на распознавание, обучение универсальному учебному действию - распознаванию объ­ектов, относящихся к изучаемому понятию. В число распознаваемых объектов должны быть включены такие, которые обладают не всеми общими (существенными) свойствами понятия и потому не представ­ляют данное понятие и подпадающие под понятие, но обладающие разными вариативными (несущественными) свойствами. Например: 17 - 10, 17 - 10 =, 17 -10 = 7, 17 -; 17 - 5 + 4, 23 - 5 - 4, 23 - (5 + 4), 0 + 0, 18-2-2-2-2-2-2, 18-6= 18-3-3 = 15-3 = 12.

Так как записи, называемые выражениями, уже использовались, читались и записывались учащимися, нужно обобщить способы чтения рассматриваемых выражений. Например, выражение 17 - 10 может быть прочитано как «разность чисел 17 и 10», как задание - «из 17 вычесть 10», «уменьшить число 17 на 10» или «найти число, меньшее семнадцати на десять» и по подобным названиям научаем учащихся записывать выражения. В дальнейшем вопросы: как про­читать записанное выражение и как записать названное выражение обсуждаются с появлением новых видов выражений.

На том же уроке, где вводим понятие выражения, вводим и по­нятие значение выражения - число, получающееся в результате выполнения всех его арифметических действий.

Для подведения итога введения понятий и планирования даль­нейшей работы, полезно обсудить на этом или на следующих уроках вопросы: Сколько существует выражений? Чем одно выражение может быть похожим на другое? Чем может отличаться от другого? Чем все выражения похожи друг на друга? О чем могут сообщить нам выражения? Что можно делать с выражениями? Чему нужно (можно научиться), изучая выражения?

Отвечая на последний вопрос вместе с учащимися формулируем учебные цели предстоящей деятельности: можно научиться и бу­дем учиться читать и записывать выражения, находить значения выражений, сравнивать выражения.

Чтение и запись выражений. Так как выражения суть записи, то нужно уметь их читать. Основные способы чтения задаются при введении действий. Читать выражение можно как наименование, как перечень знаков, как задание или вопрос. После изучения отношений «меньше (больше) на», «меньше (больше) в» между числами выраже­ния читаются еще и как утверждения или вопросы об отношениях равенства и неравенства. Каждый способ чтения раскрывает опре­деленную грань смысла соответствующего действия или действий. Поэтому очень полезно поощрять разные способы чтения. Образец чтения задает учитель при введении действия или при рассмотрении соответствующего понятия, свойства или отношения.

Основу чтения любого выражения составляет чтение выражения в одно действие. Обучение чтению происходит как и обучение любо-

му чтению при выполнении заданий, требующих такого чтения. Это могут быть специальные задания: «Прочитай выражения». Чтение необходимо при проверке значений выражения (читают выражение в составе равенства), при сообщении о результатах сравнения. Важ­но и обратное действие: запись выражения по его названию или за­даваемому им заданию, отношению. Такого рода действия учащиеся выполняют при проведении математических диктантов, специально предназначенных для формирования умения записывать выражения или в составе заданий на вычисление, сравнение и др. Чтение мате­матических выражений, обучение чтению выражений скорее не цель, а средство обучения - средство развития речи, средство углубления понимания смысла действий.

Покажем на примерах способы чтения основных ви­дов простых выражений:

1) 2 + 3 к двум прибавить три; сложить числа два и три; сум­
ма чисел два и три; два плюс три; найти сумму чисел два и три;

Найти сумму слагаемых два и три; найти число, на три большее,
чем число два; два увеличить на три; первое слагаемое 2, второе
слагаемое 3, найти сумму;

2) 5 - 3 из пяти вычесть (ни в коем случае не «отнять 1 «!) три;

Разность чисел пять и три; пять минус три; найти разность
чисел пять и три; уменьшаемое пять, вычитаемое три, найти раз­
ность; найти число, на три меньшее, чем пять; пять уменьшить
на три;

3) 2 ·3 два взять слагаемым три раза; по два взять три раза;

Два умножить на три; произведение чисел два и три; первый
множитель два, второй - три, найти произведение; найти произ­
ведение чисел два и три; дважды три, трижды два; два увеличить
в три раза; найти число в три раза большее чем два; первый мно­
житель два, второй три, найти произведение;

4) 12:4 двенадцать разделить на четыре; частное чисел двенад­
цать и четыре частное двенадцати и четырех); частное от деления
двенадцати на четыре; делимое двенадцать, делитель четыре, найти
частное (для 13:4 - найти частное и остаток); уменьшить 12 в че­
тыре раза; найти число, в четыре раза меньшее, чем двенадцать.

Чтение выражений, содержащих более двух действий, вызывает у младших школьников определенные трудности. В планируемые предметные результаты поэтому умение читать такие выражения мо-

1 «ОТНЯТЬ, … 1. кого (что). Взять у кого-н. силой, лишить кого-чего-н. О. деньги. О. сына. О. надежду. О. свое время у кого-н. (перен.: заставить потра­тить время на кого-что-н.). О. жизнь у кого-н. (убить). 2. что. Поглотить, вызвать расход чего-н. Работа отняла много сил у кого-н. 3. что. Отвести в сторону, от­делить от чего-н. О. лестницу от стены. …». [Ожегов С. И. Толковый словарь / С. И. Ожегов, Н.Ю.Шведова. - М., 1949 -1994.]

жет быть помещено в повышенный или высокий уровень владения математической речью. Называются выражения с двумя и более дей­ствиями по последнему действию, компонентами которого считают­ся выражения. Однако некоторые виды выражений входят в тексты правил. Знание словесных формулировок правил означает и знание способов (способа) чтения. Например, распределительное свойство умножения относительно сложения или правило умножения суммы на число в самом названии правила дает название выражения вида (А + □ ) · й . А в формулировке свойства называются два вида вы­ражений: «Произведение суммы на число равно сумме произведе­ний каждого слагаемого на это число». Способы чтения выражений в два и более действий могут быть заданы предписаниями алгорит­мического вида. В подразделе 4.2 приведен пример такого алгорит­ма. Овладение способами чтения таких выражений происходит при выполнении тех же видов заданий, что и при обучении чтению вы­ражений в одно действие.

Нахождение значения выражений. Правила порядка дей­ствий. С начала изучения арифметических действий и появления выражений негласно принимается правило: действия нужно выпол­нять слева направо в порядке их записи. Проблема порядка действий обнаруживается тогда, когда возникают трудности обозначения выра­жением некоторых предметных ситуаций. Например, требуется взять 7 синих кубиков, на 2 меньше белых и узнать, сколько всего кубиков взято. Выполняем практически все действия, обозначая число ку­биков цифрами, а действия - знаками арифметических действий. Отсчитаем 7 синих кубиков. Чтобы взять на 2 меньше белых, ото­двинем на время два синих кубика и путем составления пар возь­мем столько белых кубиков, сколько синих без двух. Белые и синие кубики объединим. Наши действия с кубиками в записи арифмети­ческими действиями: 7 + 7-2. Но в такой записи действия нужно выполнять в порядке записи, а это не те действия, по которым мы составляли запись! Имеет место противоречие. Нам нужно, чтобы вначале 2 вычиталось из 7 (узнаем требуемое число белых кубиков), а потом к 7 - числу синих кубиков прибавлялся результат вычита­ния 7 и 2. Как быть?

Выход из этой и подобных ситуаций может быть таким: нужно каким-либо образом в записи выражения выделить то действие или действия, которые нужно выполнять не в порядке записи слева - направо. И такой способ выделения есть. Это скобки, которые как раз и придуманы для ситуаций, когда действия в выражении нужно выполнять не в порядке следования слева направо. Со скобками ма­тематическая запись наших практических действий с кубиками будет выглядеть так: 7 + (7 - 2). Действия, записанные в скобках, принято выполнять в первую очередь. Чтобы освоить и присвоить это свой­ство скобок, составляем с учащимися разные выражения, ставим в них по-разному скобки, вычисляем, сравниваем результаты. Заме-

чаем: иногда изменение порядка действий не меняет значения выра­жения, а иногда - меняет. Например, 12 - 6 + 2 = 8, (12 - 6) + 2 = 8, 12 - (6 + 2) = 4.

При введении скобок общепринятые правила порядка действий явно еще не изучаются, хотя два правила уже практически приме­няются: а) если в выражении без скобок только сложение и вычита­ние, то действия выполняются в порядке их записи слева направо; б) действия в скобках выполняются первыми.

Вновь остро проблема порядка действий возникает после появ­ления выражений, содержащих действия умножения и (или) деле­ния и действия сложения и (или) вычитания. В этот период потреб­ность в правилах порядка действий может быть осознана учащимися и именно в этот период учащиеся уже могут обсуждать эту проблему, формулировать и понимать общепринятые формулировки правил порядка действий.

Обеспечить понимание необходимости таких правил можно соз­дать с помощью экспериментирования с выражением в несколько действий. Например, вычислим значение выражения 7 - 3 · 2 + 15: 5, выполняя действия в трех разных последовательностях: 1) - · + (в порядке записи); 2) - + ·: (вначале сложение и вычитание, потом умножение и деление); 3) ·: - + (вначале умножение и деление, за­тем сложение и вычитание). В результате получим три разных зна­чения: 1) 4 (ост. 3); 2) 13 (ост. 3); 3) 6. Обсуждая с учащимися воз­никшую ситуацию, делаем вывод: нужно договориться и принять только одну последовательность в качестве общепринятого правила действий. А так как значения выражений вычисляли еще и до нас, да еще и не одну сотню лет, то, вероятно, такие договоренности уже есть. Находим их в учебнике.

Далее обсуждаем с учащимися необходимость знания этих пра­вил и умения их применять. Обосновав для самих себя такую не­обходимость, учащиеся вполне могут попытаться сами определить для себя виды учебной работы, выполняя которую, они смогут за­помнить правила и научиться их безошибочно выполнять. Такое определение видов учебной работы может быть намечено в группо­вой работе и на том же уроке некоторые виды такой работы могут быть выполнены. В процессе работы группы учащиеся знакомятся с содержанием соответствующих страниц учебника и тетради для самостоятельной работы к учебнику, могут сами дополнить учеб­ные задания, выполнить некоторые из них, проверить себя и затем сделать отчет работы в группе по тому, что уже освоили в результате работы в группе. Например: «В нашей группе все научились в выра­жениях без скобок в три-четыре действия определять порядок дей­ствий, обращаясь к тексту правила в учебнике, и обозначать этот порядок номерами действий над знаками действий в выражении». Затем ставится цель научиться находить значения таких «больших» выражений - в три-четыре и более действий на многих уроках уча-

щиеся выполняют учебные действия для ее достижения. Способ на­хождения значений составного выражения может быть представлен в алгоритмическом виде.

Алгоритм нахождения значения числового выражения (задан сло­весным предписанием в виде перечня шагов).

1. Если в выражении есть скобки, то выполнить действия в скоб­ках как в выражении без скобок. 2. Если в выражении нет скобок, то: а) если в выражении только сложение и (или) вычитание или только умножение и (или) деление, то выполнить эти действия по порядку слева-направо; б) если в выражении есть действия из группы сложе­ние - вычитание и из группы умножение - деление, то выполнить вначале умножение и деление по порядку слева-направо, затем вы­полнить сложение и вычитание по порядку слева-направо. 3. Результат последнего действия назвать значением выражения.

Особую роль в обучении играют способы нахождения значений выражений на основе свойств действий. Такие способы заключаются в том, что вначале выражения преобразуются на основе свойств дей­ствий, и лишь потом применяются правила порядка действий. На­пример, нужно найти значение выражения: 23 + 78 + 77. По правилам порядка действий нужно вначале к 23 прибавить 78, а к результату прибавить 17. Однако переместительное и сочетательное свойства или правило «Складывать числа можно в любом порядке» позволяет нам это выражение заменить равным ему с другим порядком действий 23 + 77 + 78. Выполнив действия в соответствии с правилами поряд­ка действий, легко получим результат 100 + 78 = 178.

Собственно математическая деятельность, математическое раз­витие учащихся происходит именно тогда, когда они ищут рацио­нальные или оригинальные способы преобразования выражений с последующими удобными вычислениями. Поэтому необходимо вырабатывать у учащихся привычку в любых не калькуляторных вы­числениях, искать способы упрощения вычислений, преобразования выражений с тем, чтобы вместо громоздких, некрасивых вычисле­ний искомое значение выражения находилось с помощью простых и красивых случаев вычисления. Задания формулируются для этого так «Вычисли удобным (или рациональным) способом …».

Нахождение значений буквенных выражений - важное умение, которое формирует представления о переменной и является основой понимания в дальнейшем функциональной зависимости. Очень удоб­ной формой заданий на нахождение значений буквенных выражений и для наблюдения зависимости значения выражения от значений вхо­дящих в него букв является табличная. Например, по табл. 8.1 уча­щиеся могут установить ряд зависимостей: если значения а являются последовательными числами, то значения 2а есть последовательные четные числа, а значения 3а - каждые третьи числа, начиная со зна­чения 3а при наименьшем значении а и др.

Таблица 8.1

Сравнение выражений. На выражения переносятся отношения, связывающие значения выражений. Основной способ сравнения - нахождение значений сравниваемых выражений и сравнение значе­ний выражения. Алгоритм сравнения :

1. Найти значения сравниваемых выражений. 2. Сравнить получен­ные числа. 3. Результат сравнения чисел перенести на выражения. Если требуется, поставить между выражениями соответствующий знак. Конец.

Также как и при нахождении значений выражений ценятся спосо­бы сравнения, основанные на свойствах арифметических действий, свойствах числовых равенств и неравенств, так как такое сравнение требует дедуктивных рассуждений и потому обеспечивает развитие логического мышления.

Например, нужно сравнить 73 + 48 и 73 + 50. Известно свойство: «Если одно слагаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то и сумма увеличится или уменьшится на столько же единиц». Следо­вательно, значение первого выражения меньше, чем значение второго, а значит первое выражение меньше второго, а второе - больше перво­го. Мы сравнили выражения без нахождения значений выражений, без выполнения каких-либо арифметических действий путем применения известного свойства сложения. Для таких случаев полезно сравнение выражений, записанных с использованием обобщающей символики. Сравните выражения. © + Ф и © + (Ф + 4), © + Ф и © + (Ф - 4).

Интересны способы сравнения, основанные на преобразовании срав­ниваемых выражений - заменой их равными. Например: 18 · 4 и 18 + 18 + 18 + 18; 25 · (117 - 19) и 25 · 117 - 19; 25 · (117 -119) и 25 · 117 - - 19 · 117 и т.п. Преобразуя выражение в одной части на основании свойств действий мы получаем выражения, сравнивать которые уже можно через сравне­ние чисел - компонентов одного и того же действия.

Пример. 126 + 487 и 428 + 150. Для сравнения применим переме-стительное свойство. Получим: 487 + 126 и 428 и 150. Преобразуем первое выражение: 487 + 132 = (483 + 4) + (130 - 4) = 483 + 4 + 130 -4 = 483 + 130 = (483 - 20) + (130 + 20) = 463 + 150. Теперь сравнивать нужно выражения 463 + 150 и 428 + 150.

Числовые и алгебраические выражения. Преобразование выражений.

Что такое выражение в математике? Зачем нужны преобразования выражений?

Вопрос, как говорится, интересный... Дело в том, что эти понятия - основа всей математики. Вся математика состоит из выражений и их преобразований. Не очень понятно? Поясню.

Допустим, перед вами злой пример. Очень большой и очень сложный. Допустим, вы сильны в математике и ничего не боитесь! Сможете сразу дать ответ?

Вам придётся решать этот пример. Последовательно, шаг за шагом, этот пример упрощать . По определённым правилам, естественно. Т.е. делать преобразование выражений . Насколько успешно вы проведёте эти преобразования, настолько вы и сильны в математике. Если вы не умеете делать правильные преобразования, в математике вы не сможете сделать ни-че-го ...

Во избежание такого неуютного будущего (или настоящего...), не мешает разобраться в этой теме.)

Для начала выясним, что такое выражение в математике . Что такое числовое выражение и что такое алгебраическое выражение.

Что такое выражение в математике?

Выражение в математике - это очень широкое понятие. Практически всё то, с чем мы имеем дело в математике - это набор математических выражений. Любые примеры, формулы, дроби, уравнения и так далее - это всё состоит из математических выражений .

3+2 - это математическое выражение. с 2 - d 2 - это тоже математическое выражение. И здоровущая дробь, и даже одно число - это всё математические выражения. Уравнение, например, вот такое:

5х + 2 = 12

состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства. Одно выражение - слева, другое - справа.

В общем виде термин "математическое выражение " применяется, чаще всего, чтобы не мычать. Спросят вас, что такое обыкновенная дробь, например? И как ответить?!

Первый вариант ответа: "Это... м-м-м-м... такая штука... в которой... А можно я лучше напишу дробь? Вам какую?"

Второй вариант ответа: "Обыкновенная дробь - это (бодро и радостно!) математическое выражение , которое состоит из числителя и знаменателя!"

Второй вариант как-то посолидней будет, правда?)

Вот в этих целях фраза "математическое выражение " очень хороша. И правильно, и солидно. Но для практического применения надо хорошо разбираться в конкретных видах выражений в математике .

Конкретный вид- это другое дело. Это совсем другое дело! У каждого вида математических выражений есть свой набор правил и приёмов, который необходимо использовать при решении. Для работы с дробями - один набор. Для работы с тригонометрическими выражениями - второй. Для работы с логарифмами - третий. И так далее. Где-то эти правила совпадают, где-то - резко отличаются. Но не пугайтесь этих страшных слов. Логарифмы, тригонометрию и прочие загадочные вещи мы будем осваивать в соответствующих разделах.

Здесь мы освоим (или - повторим, кому как...) два основных вида математических выражений. Числовые выражения и алгебраические выражения.

Числовые выражения.

Что такое числовое выражение ? Это очень простое понятие. Само название намекает, что это выражение с числами. Да, так оно и есть. Математическое выражение, составленное из чисел, скобок и знаков арифметических действий называется числовым выражением.

7-3 - числовое выражение.

(8+3,2)·5,4 - тоже числовое выражение.

И вот этот монстр:

тоже числовое выражение, да...

Обычное число, дробь, любой пример на вычисление без иксов и прочих букв - всё это числовые выражения.

Главный признак числового выражения - в нём нет букв . Никаких. Только числа и математические значки (если надо). Всё просто, правда?

И что можно делать с числовыми выражениями? Числовые выражения, как правило, можно считать. Для этого приходится, бывает, раскрывать скобки, менять знаки, сокращать, менять местами слагаемые - т.е. делать преобразования выражений . Но об этом чуть ниже.

Здесь же мы разберёмся с таким забавным случаем, когда с числовым выражением ничего делать не надо. Ну вот совсем ничего! Эта приятная операция - ничего не делать) - выполняется, когда выражение не имеет смысла .

Когда числовое выражение не имеет смысла?

Понятное дело, если мы видим перед собой какую-то абракадабру, типа

то делать ничего и не будем. Так как непонятно, что с этим делать. Бессмыслица какая-то. Разве что, посчитать количество плюсиков...

Но бывают внешне вполне благопристойные выражения. Например такое:

(2+3) : (16 - 2·8)

Однако, это выражение тоже не имеет смысла ! По той простой причине, что во вторых скобочках - если посчитать - получается ноль. А на ноль делить нельзя! Это запретная операция в математике. Стало быть, с этим выражением тоже ничего делать не надо. При любом задании с таким выражением, ответ будет всегда один: "Выражение не имеет смысла!"

Чтобы дать такой ответ, пришлось, конечно, посчитать, что в скобочках будет. А иногда в скобочках такого понаворочено... Ну тут уж ничего не поделаешь.

Запретных операций в математике не так уж много. В этой теме - всего одна. Деление на ноль. Дополнительные запреты, возникающие в корнях и логарифмах обсуждаются в соответствующих темах.

Итак, представление о том, что такое числовое выражение - получили. Понятие числовое выражение не имеет смысла - осознали. Едем дальше.

Алгебраические выражения.

Если в числовом выражении появляются буквы - это выражение становится... Выражение становится... Да! Оно становится алгебраическим выражением . Например:

5а 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (а+b) 2 ; ...

Ещё такие выражения называют буквенными выражениями. Или выражениями с переменными. Это, практически, одно и то же. Выражение 5а +с , к примеру - и буквенное, и алгебраическое, и выражение с переменными.

Понятие алгебраическое выражение - более широкое, чем числовое. Оно включает в себя и все числовые выражения. Т.е. числовое выражение - это тоже алгебраическое выражение, только без букв. Всякая селёдка - рыба, но не всякая рыба - селёдка...)

Почему буквенное - понятно. Ну, раз буквы есть... Фраза выражение с переменными тоже не сильно озадачивает. Если понимать, что под буквами скрываются числа. Всякие числа могут скрываться под буквами... И 5, и -18, и всё, что угодно. Т.е букву можно заменять на разные числа. Поэтому буквы и называются переменными .

В выражении у+5 , например, у - переменная величина. Или говорят просто "переменная" , без слова "величина". В отличие от пятёрки, которая - величина постоянная. Или просто - постоянная .

Термин алгебраическое выражение означает, что для работы с данным выражением нужно использовать законы и правила алгебры . Если арифметика работает с конкретными числами, то алгебра - со всеми числами разом. Простой пример для пояснения.

В арифметике можно записать, что

А вот если мы подобное равенство запишем через алгебраические выражения:

а + b = b + a

мы сразу решим все вопросы. Для всех чисел махом. Для всего бесконечного количества. Потому, что под буквами а и b подразумеваются все числа. И не только числа, но даже и другие математические выражения. Вот так работает алгебра.

Когда алгебраическое выражение не имеет смысла?

Про числовое выражение всё понятно. Там на ноль делить нельзя. А с буквами, разве можно узнать, на что делим?!

Возьмём для примера вот такое выражение с переменными:

2: (а - 5)

Имеет оно смысл? Да кто ж его знает? а - любое число...

Любое-то любое... Но есть одно значение а , при котором это выражение точно не имеет смысла! И что это за число? Да! Это 5! Если переменную а заменить (говорят - "подставить") на число 5, в скобочках ноль получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение не имеет смысла , если а = 5 . Но при других-то значениях а смысл имеется? Другие числа подставлять-то можно?

Конечно. Просто в таких случаях говорят, что выражение

2: (а - 5)

имеет смысл для любых значений а , кроме а = 5 .

Весь набор чисел, которые можно подставлять в заданное выражение, называется областью допустимых значений этого выражения.

Как видите, ничего хитрого нет. Смотрим на выражение с переменными, да соображаем: при каком значении переменной получается запретная операция (деление на ноль)?

А потом обязательно смотрим на вопрос задания. Чего спрашивают-то?

не имеет смысла , наше запретное значение и будет ответом.

Если спрашивают, при каком значении переменной выражение имеет смысл (почувствуйте разницу!), ответом будут все остальные числа , кроме запретного.

Зачем нам смысл выражения? Есть он, нет его... Какая разница?! Дело в том, что это понятие становится очень важным в старших классах. Крайне важным! Это основа для таких солидных понятий, как область допустимых значений или область определения функции. Без этого вы вообще не сможете решать серьёзные уравнения или неравенства. Вот так.

Преобразование выражений. Тождественные преобразования.

Мы познакомились с числовыми и алгебраическими выражениями. Поняли, что означает фраза "выражение не имеет смысла". Теперь надо разобраться, что такое преобразование выражений. Ответ прост, до безобразия.) Это любое действие с выражением. И всё. Вы эти преобразования делали с первого класса.

Возьмём крутое числовое выражение 3+5. Как его можно преобразовать? Да очень просто! Посчитать:

Вот этот расчёт и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:

Тут мы вообще ничего не считали. Просто записали выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать вот так:

И это тоже - преобразование выражения. Таких преобразований можно понаделать сколько хочешь.

Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. И все дела. Всё очень просто. Но есть здесь одно очень важное правило. Настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики. Нарушение этого правила неизбежно приводит к ошибкам. Вникаем?)

Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, вот так:

Преобразование? Конечно. Мы же записали выражение в другом виде, что здесь не так?

Всё не так.) Дело в том, что преобразования "как попало" математику не интересуют вообще.) Вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Три плюс пять можно записать в каком угодно виде, но это должно быть восемь.

Преобразования, не меняющие сути выражения называются тождественными.

Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, превращать сложный пример в простое выражение, сохраняя суть примера. Если в цепочке преобразований мы ошибёмся, сделаем НЕ тождественное преобразование, дальше мы будем решать уже другой пример. С другими ответами, которые не имеют отношения к правильным.)

Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.

Пример с числовыми выражением 3+5 я привёл для наглядности. В алгебраических выражениях тождественные преобразования даются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:

a(b+c) = ab + ac

Значит, мы в любом примере можем вместо выражения a(b+c) смело написать выражение ab + ac . И наоборот. Это тождественное преобразование. Математика предоставляет нам выбор из этих двух выражений. А уж какое из них писать - от конкретного примера зависит.

Ещё пример. Одно из из самых главных и нужных преобразований - это основное свойство дроби. Подробнее можно по ссылке посмотреть, а здесь просто напомню правило: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится. Вот вам пример тождественных преобразований по этому свойству:

Как вы, наверняка, догадались, эту цепочку можно продолжать до бесконечности...) Очень важное свойство. Именно оно позволяет превращать всякие монстры-примеры в белые и пушистые.)

Формул, задающих тождественные преобразования, - много. Но самых главных - вполне разумное количество. Одно из базовых преобразований - разложение на множители. Оно используется во всей математике - от элементарной до высшей. С него и начнём. В следующем уроке.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Выражение - это самый широкий математический термин. По существу, в этой науке из них состоит все, и все операции проводятся тоже над ними. Другой вопрос, что в зависимости от конкретного вида применяются совершенно разнообразные методы и приемы. Так, работа с тригонометрией, дробями или логарифмами - это три различных действия. Выражение, не имеющее смысла, может относится к одному из двух видов: числовому или алгебраическому. А вот что означает это понятие, как выглядит его пример и прочие моменты будут рассмотрены далее.

Числовые выражения

Если выражение состоит из чисел, скобок, плюсов-минусов и остальных знаков арифметических действий, его смело можно называть числовым. Что довольно логично: стоит только еще разок взглянуть на первый названный его компонент.

Числовым выражением может быть что угодно: главное, чтобы в нем не было букв. А под "чем угодно" в данном случае понимается все: от простой, стоящей одиноко, самой по себе, цифры, до огромного их перечня и знаков арифметических действий, требующих последующего вычисления конечного результата. Дробь - это тоже числовое выражение, если в ней нет всяких a, b, c, d и т.д., ведь тогда это совершенно другой вид, о котором будет рассказано чуть позже.

Условия для выражения, которое не имеет смысла

Когда задание начинается со слова "вычислить", можно говорить о преобразовании. Штука в том, что это действие не всегда целесообразно: в нем не то чтобы сильно нуждаются, если на передний план выходит выражение, не имеющее смысла. Примеры бесконечно удивительны: иногда, чтобы понять, что оно-то нас и настигло, приходится долго и нудно раскрывать скобки и считать-считать-считать...

Главное, что нужно запомнить: не имеет смысла то выражения, чей конечный результат сводится к запретному в математике действию. Если уж совсем по-честному, то тогда бессмысленным становится само преобразование, но для того, чтобы это выяснить, приходится его для начала выполнить. Такой вот парадокс!

Самое знаменитое, но от того не менее важное запретное математическое действие - это деление на ноль.

Потому вот, например, выражение, не имеющее смысла:

(17+11):(5+4-10+1).

Если при помощи нехитрых вычислений свести вторую скобку к одной цифре, то она и будет нулем.

По такому же принципу "почетное звание" дается и этому выражению:

(5-18):(19-4-20+5).

Алгебраические выражения

Это то же самое числовое выражение, если в него добавить запретные буквы. Тогда оно и становится полноценным алгебраическим. Оно также может быть всех размеров и форм. Алгебраическое выражение - понятие более широкое, включающее в себя предыдущее. Но был смысл начинать разговор не с него, а с числового, чтобы было понятнее и разобраться было легче. Ведь имеет ли смысл выражение алгебраическое - вопрос не то чтобы очень сложный, но имеющий больше уточнений.

Почему так?

Буквенное выражение, или выражение с переменными - это синонимы. Первый термин объяснить просто: ведь оно, в конце концов, содержит в себе буквы! Второй тоже не загадка века: вместо букв можно подставлять разные числа, вследствие чего значение выражения будет меняться. Нетрудно догадаться, что буквы в данном случае и есть переменные. По аналогии, числа - это постоянные.

И тут мы возвращаемся к основной тематике: не имеющее смысла?

Примеры алгебраических выражений, не имеющих смысла

Условие для бессмысленности алгебраического выражения - аналогичное, как и для числового, с одним лишь только исключением, а если быть точнее, дополнением. При преобразовании и вычислении конечного результата приходится учитывать переменные, поэтому вопрос ставится не как "какое выражение не имеет смысла?", а "при каком значении переменной это выражение не будет иметь смысла?" и "есть ли такое значение переменной, при котором выражение потеряет смысл?"

Например, (18-3):(a+11-9).

Вышеприведенное выражение не имеет смысла при a равном -2.

А вот насчет (a+3):(12-4-8) можно смело сказать, что это выражение, не имеющее смысла при любых a.

Точно так же, какое b ни подставишь в выражение (b - 11):(12+1), оно по-прежнему будет иметь смысл.

Типовые задачи по теме "Выражение, не имеющее смысла"

7 класс изучает эту тему по математике в числе прочих, и задания по ней встречаются нередко как непосредственно после соответствующего занятия, так и в качестве вопроса "с подвохом" на модулях и экзаменах.

Вот почему стоит рассмотреть типовые задачи и методы их решения.

Пример 1.

Имеет ли смысл выражение:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Необходимо произвести все вычисление в скобках и привести выражение к виду:

Конечный результат содержит следовательно, выражение не имеет смысла.

Пример 2.

Какие выражения не имеют смысла?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Следует вычислить конечное значение для каждого из выражений.

Ответ: 1; 2.

Пример 3.

Найти область допустимых значений для следующих выражений:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Область допустимых значений (ОДЗ) - это все те числа, при подставлении которых вместо переменных выражение будет иметь смысл.

То есть задание звучит как: найти значения, при которых не будет деления на ноль.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), или b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), или b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Пример 4.

При каких значениях нижеприведенное выражение не будет иметь смысла?

Вторая скобка равна нулю при игреке равном -3.

Ответ: y=-3

Пример 4.

Какие из выражений не имеют смысла только при x = -14?

1) 14:(х - 14);

2) (3+8х):(14+х);

3) (х/(14+х)):(7/8)).

2 и 3, так как в первом случае, если подставить вместо х = -14, то вторая скобка приравняется -28, а не нулю, как звучит в определении не имеющего смысла выражения.

Пример 5.

Придумайте и запишите выражение, не имеющее смысла.

18/(2-46+17-33+45+15).

Алгебраические выражения с двумя переменными

Несмотря на то что у всех выражений, которые не имеют смысла, одна суть, существуют разные уровни их сложности. Так, можно сказать, что числовые - это примеры простые, ведь они легче, чем алгебраические. Трудности для решения добавляет и количество переменных у последних. Но и они не должны своим видом: главное - помнить общий принцип решения и применять его вне зависимости от того, похож ли пример на типовую задачу или имеет какие-то неизвестные дополнения.

Например, может возникнуть вопрос, как решить такое задание.

Найти и записать пару чисел, являющихся недопустимыми для выражения:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).

Варианты ответов:

Но на самом деле оно только выглядит страшным и громоздким, потому что на деле содержит в себе то, что уже давно известно: возведение чисел в квадрат и куб, некоторые арифметические действия, такие как деление, умножение, вычитание и сложения. Для удобства, между прочим, можно привести задачу к дробному виду.

Числитель у получившейся дроби не радует: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Это факт. Зато есть другой повод для счастья: его-то для решения задания трогать даже не понадобится! Согласно определению, рассмотренному ранее, делить нельзя на ноль, а что именно на него будет делиться, совершенно неважно. Потому оставляем это выражение в неизменном виде и подставляем пары чисел из данных вариантов в знаменатель. Уже третий пункт идеально вписывается, превращая небольшую скобочку в ноль. Но останавливаться на этом - плохая рекомендация, ведь подойти может еще что-нибудь. И вправду: пятый пункт тоже неплохо вписывается и подходит условию.

Записываем ответ: 3 и 5.

В заключение

Как видно, эта тема очень интересная и не особо сложная. Разобраться в ней не составит труда. Но все-таки отработать пару примеров никогда не помешает!