Замечание 1.4. В случае, когда g и G – отрезки прямой, вероятность события A равна отношению длин этих отрезков. Если g и G – тела в трехмерном пространстве, то вероятность события A находят как отношение объемов этих тел. Поэтому в общем случае

где mes – метрика рассматриваемого пространства.

Замечание 1.5. Геометрическое определение вероятности применяется к испытаниям с бесконечным числом исходов.

Пример 1.13. Два лица договорились встретиться в определенном месте между 12 и 13 ч., причем каждый пришедший на встречу ждет другого в течение 20 мин., но не дольше, чем до 13.00, после чего уходит. Найти вероятность встречи этих лиц, если каждый из них приходит в случайный момент времени, не согласованный с моментом прихода другого.

Решение. Пусть событие A – встреча состоялась. Обозначим через x – время прихода первого лица на встречу, y - время прихода второго лица. Тогда множество всех возможных исходов опыта – множество всех пар (x , y ), где x , y Î . А множество благоприятствующих исходов определяется неравенством

|x – y | £ 20 (мин).

Оба этих множества бесконечны, поэтому классическое определение для вычисления вероятности применить нельзя. Воспользуемся геометрическим определением. На рис. 1.2 изображены множества всех возможных исходов (квадрат OKMT ) и благоприятствующих исходов (шестиугольник OSLMNR ). Используя определение 1.13, получим

Сумма и произведение событий. Теоремы о вероятности суммы и произведения событий

Определение 1.14. Суммой событий A и B называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Обозначение: A + B .

Определение 1.15. Произведением событий A и B называют событие, состоящее в одновременном наступлении этих событий в одном и том же опыте. Обозначение: AB .

Пример 1.14. Из колоды в 36 карт вынута одна карта наугад. Введем обозначения: A – вынутая карта оказалась дамой, B – вынули карту пиковой масти. Найти вероятности событий A + B и AB .

Решение. Событие A + B произойдет, если вынутая карта будет пиковой масти или дамой. Значит, рассматриваемому событию благоприятствуют 13 исходов (любая из 9 карт пиковой масти, любая из 3 дам другой масти) из 36 возможных. Используя классическое определение вероятности случайного события, получим

Событие AB наступит, если вынутая карта будет пиковой масти и дамой. Следовательно, событию AB благоприятствует только один исход опыта (пиковая дама) из 36 возможных. С учетом определения 1.11 получим

Замечание 1.6. Определения суммы и произведения событий можно распространить на любое число событий.

При вычислении вероятности суммы и произведения событий удобно использовать следующие утверждения.

Теорема 1.1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого именно, равна сумме вероятностей этих событий

P(A +B )=P(A )+P(B ).

Следствие 1.1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

P(A 1 +A 2 +…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).

Следствие 1.2. Сумма вероятностей попарно несовместных событий A 1 , A 2 ,…, A n , образующих полную группу, равна единице

P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n )=1.

Следствие 1.3. Вероятность противоположного события

Случайное событие было определено как событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений (кроме условий опыта) не налагается, то такую вероятность называют безусловной. Если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Определение 1.16. Условной вероятностью P B (A ) (или P(A |B )) называют вероятность события A , вычисленную в предположении, что событие B уже произошло.

Используя понятие условной вероятности, дадим определение независимости событий, отличное от приведенного раннее.

Определение 1.17. Событие A независимо от события B , если имеет место равенство

В практических вопросах для определения независимости данных событий редко обращаются к проверке выполнения для них равенств (1.3) и (1.4). Обычно для этого пользуются интуитивными соображениями, основанными на опыте.

Определение 1.18. Несколько событий называют попарно независимыми , если каждые два из них независимы.

Определение 1.19. Несколько событий называют независимыми в совокупности , если они попарно независимы и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Теорема 1.2. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

В зависимости от выбора порядка следования событий теорема 1.2 может быть записана в виде

P(AB ) = P(A )P A (B )

P(AB ) = P(B )P B (A ).

Следствие 1.4. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились

При этом порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым.

Пример 1.15. В урне 6 белых и 3 черных шара. Из урны наудачу вынимают по одному шару до появления черного. Найти вероятность того, что придется проводить четвертое вынимание, если шары в урну обратно не возвращают.

Решение. В рассматриваемом опыте нужно проводить четвертое вынимание, если первые три шара окажутся белыми. Обозначим через A i событие, состоящее в том, что при i -ом вынимании появится белый шар (i = 1, 2, 3). Задача заключается в отыскании вероятности события A 1 A 2 A 3 . Поскольку вынутые шары обратно не возвращают, события A 1 , A 2 и A 3 являются зависимыми (каждое предыдущее влияет на возможность появления следующего). Для вычисления вероятности воспользуемся следствием 1.4 и классическим определением вероятности случайного события, именно

Следствие 1.5. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей

P(AB )=P(A )P(B ).

Следствие 1.6. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению их вероятностей

P(A 1 A 2 …A n )=P(A 1)P(A 2)…P(A n ).

Пример 1.16. Решить задачу из примера 1.15, считая, что после каждого вынимания шары возвращают обратно в урну.

Решение. Как и прежде (пример 1.15) нужно найти P(A 1 A 2 A 3). Однако события A 1 , A 2 и A 3 являются независимыми в совокупности, т.к. состав урны при каждом вынимании одинаковый и, следовательно, результат отдельного испытания не влияет на другие. Поэтому для вычисления вероятности воспользуемся следствием 1.6 и определением 1.11 вероятности случайного события, а именно

P(A 1 A 2 A 3)=P(A 1)P(A 2)P(A 3)= = .

Теорема 1.3. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Замечание 1.7. При использовании формулы (1.5) надо иметь в виду, что события A и B могут быть как зависимыми, так и независимыми.

Пример 1.17. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого – 0,7. Найти вероятность того, что

а) оба стрелка попадут в мишень (событие D );

б) только один из стрелков попадет в мишень (событие E );

в) хотя бы один из стрелков попадет в мишень (событие F ).

Решение. Введем обозначения: A – первый стрелок попал в мишень, B – второй стрелок попал в мишень. По условию P(A ) = 0,6 и P(B ) = 0,7. Ответим на поставленные вопросы.

а) Событие D произойдет, если возникнет событие AB . Поскольку события A и B независимые, то с учетом следствия 1.5 получим

P(D ) = P(AB ) = P(A )P(B ) = 0,6×0,7 = 0,42.

б) Событие E произойдет, если появится одно из событий A или B . Эти события несовместны, а события A () и B () независимые, поэтому по теореме 1.1, следствиям 1.3 и 1.5 будем иметь

P(E ) = P(A + B ) = P(A ) + P(B ) =

P(A )P() + P()P(B ) = 0,6×0,3 + 0,4×0,7 = 0,46.

в) Событие F возникнет, если появится хотя бы одно из событий A или B . Эти события совместны. Следовательно, по теореме 1.3, имеем

P(F ) = P(A +B ) = P(A ) + P(B ) - P(AB ) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88.

Отметим, что вероятность события F можно было вычислить иначе. А именно

P(F ) = P(A + B + AB ) = P(A ) + P(B ) + P(AB ) = 0,88

P(F ) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 – 0,4×0,3 = 0,88.

Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B 1 , B 2 ,…, B n , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами .

Оценить вероятность появления события A до проведения опыта можно, используя следующее утверждение.

Теорема 1.4. Вероятность события A , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B 1 , B 2 ,…, B n , образующих полную группу, равна

Формула (1.6) носит название формулы полной вероятности .

Пример 1.18. Для сдачи экзамена студентам было необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 8 – 25 вопросов, 5 – 20 вопросов и 2 – 15 вопросов. Найти вероятность того, что вызванный наудачу студент ответит на поставленный вопрос.

Решение. Введем следующие обозначения: A – событие, состоящее в том, что вызванный наудачу студент ответил на поставленный вопрос, B 1 - вызванный наудачу студент знает ответы на все вопросы, B 2 - вызванный наудачу студент знает ответы на 25 вопросов, B 3 - вызванный наудачу студент знает ответы на 20 вопросов и B 4 - вызванный наудачу студент знает ответы на 15 вопросов. Заметим, что события B 1 , B 2 , B 3 и B 4 несовместны, образуют полную группу, и событие A может наступить при условии появления одного из этих событий. Следовательно, для вычисления вероятности события A можно использовать формулу полной вероятности (1.6):

По условию задачи известны вероятности гипотез

P(B 1) = , P(B 2) = , P(B 3) = , P(B 4) =

и условные вероятности (вероятности для студентов каждой из четырех групп ответить на поставленный вопрос)

1, = , = , = .

Таким образом,

P(A ) = ×1 + × + × + × = .

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие A , причем какое из событий B i (i =1, 2,…, n ) произошло исследователю не известно. Оценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, можно с помощью формул Байеса

Здесь P(A ) вычисляется по формуле полной вероятности (1.6).

Пример 1.19. На некоторой фабрике машина I производит 40% всей продукции, а машина II – 60%. В среднем 9 из 1000 единиц продукции, произведенной машиной I, оказывается браком, а у машины II – брак 4 единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность, что она произведена на машине II?

Решение. Введем обозначения: A – событие, состоящее в том, что единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком, B i - единица продукции, выбранная наугад, изготовлена машиной i (i = I, II). События B 1 и B 2 несовместны и образуют полную группу, причем событие A может возникнуть только в результате появления одного из этих событий. Известно, что событие A произошло (выбранная наудачу единица продукции оказалась браком). Какое именно из событий B 1 или B 2 при этом имело место неизвестно, т.к. неизвестно на какой из двух машин изготовлено выбранное изделие. Оценку вероятности гипотезы B 2 можно провести по формуле Байеса (1.7):

где вероятность случайного выбора бракованного изделия вычисляется по формуле полной вероятности (1.6):

Учитывая, что по условию задачи

P(B 1) = 0,40, P(B 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008,

Последовательность независимых испытаний

В научной и практической деятельности постоянно приходится проводить многократно повторяющиеся испытания в сходных условиях. Как правило, при этом результаты предшествующих испытаний никак не сказываются на последующих. Очень важен простейший тип таких испытаний, когда в каждом из испытаний некоторое событие A может появиться с одной и той же вероятностью и эта вероятность остается одной и той же, не зависимо от результатов предшествующих или последующих испытаний. Этот тип испытаний был впервые исследован Якобом Бернулли, и поэтому получил наименование схемы Бернулли.

Схема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний в сходных условиях (или один и тот же опыт проводится n раз), в каждом из которых событие A может появиться либо не появиться. При этом вероятность появления события A в каждом испытании одна и та же и равна p . Следовательно, вероятность ненаступления события A в каждом отдельном испытании также постоянна и равна q = 1 - p .

Вероятность того, что в этих условиях событие A осуществится ровно k раз (и, следовательно, не осуществится n – k раз) можно найти по формуле Бернулли

При этом порядок появления события A в указанных n испытаниях может быть произвольным.

Пример 1.20. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере одному; в) не менее трем; г) более одного и менее четырех.

Решение. В этом примере один и тот же опыт (выбор обуви) проводится 5 раз, причем вероятность события A – выбрана обувь 41-го размера – постоянна и равна 0,2. Кроме того, результат каждого отдельного испытания не влияет на другие опыты, т.к. покупатели выбирают обувь независимо друг от друга. Следовательно, имеем последовательность испытаний, проводимых по схеме Бернулли, в которой n = 5, p = 0,2, q = 0,8. Для ответа на поставленные вопросы нужно вычислить вероятности P 5 (k ). Воспользуемся формулой (1.8).

а) P 5 (1) = = 0,4096;

б) P 5 (k ³ 1) = 1 - P 5 (k < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232;

в) P 5 (k ³ 3) = P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) = + + = =0,5792;

г) P 5 (1 < k < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256.

Использование формулы Бернулли (1.32) при больших значениях п и т вызывает большие трудности, так как это связано с громоздкими вычислениями. Так, при п = 200, т = 116, р = 0,72 формула Бернулли принимает вид Р 200 (116) = (0,72) 116 (0,28) 84 . Подсчитать результат практически невозможно. Вычисление Р п (т) вызывает затруднения также при малых значениях р (q). Возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления Р п (т), обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают нам предельные теоремы; они содержат так называемые асимптотические формулы, которые при больших значениях испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления биномиальной вероятности Р п (т) при п.

Теорема 1.5. Если число испытаний неограничено увеличивается (п) и вероятность р наступления события А в каждом испытании неограничено уменьшается (p), но так, что их произведение пр является постоянной величиной (пр = а = const), то вероятность Р п (т) удовлетворяет предельному равенству

Выражение (1.9) называется асимптотической формулой Пуассона.

Из предельного равенства (1.9) при больших п и малых р вытекает приближенная формула Пуассона

Формулу (1.10) применяют, когда вероятность р = const успеха крайне мала, т. е. сам по себе успех (появление события А) является редким событием (например, выигрыш автомобиля по лотерейному билету), но количество испытаний п велико, среднее число успехов пр = а незначительно. Приближенную формулу (1.10) обычно используют, когда п 50, а пр 10.

Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.

Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (например, поток посетителей в парикмахерской, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов элементов, поток обслуженных абонентов и т.п.).

Поток событий, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия называется простейшим (пуассоновским) потоком.

Свойство стационарности означает, что вероятность появления k событий на участке времени длины зависит только от его длины (т. е. не зависит от начала его отсчета). Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени, так называемая интенсивность потока, есть величина постоянная: (t ) = .

Свойство ординарности означает, что событие появляется не группами, а поодиночке. Другими словами, вероятность появления более одного события на малый участок времени t пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события (например, поток катеров, подходящих к причалу, ординарен).

Свойство отсутствия последствия означает, что вероятность появления к событий на любом участке времени длины не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом не пересекающимся с ним участком (говорят: «будущее» потока не зависит от «прошлого», например, поток людей, входящих в супермаркет).

Можно доказать, что вероятность появления т событий простейшего потока за время продолжительностью t определяется формулой Пуассона.

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, т.к. при этом приходится выполнять действия над громадными числами. Упростить вычисления можно, пользуясь таблицами факториалов или применяя технические средства (калькулятор, ЭВМ). Но в этом случае в процессе вычислений накапливаются погрешности. Поэтому окончательный результат может значительно отличаться от истинного. Возникает необходимость применения приближенных (асимптотических ) формул .

Замечание 1.8. Функцию g (x ) называют асимптотическим приближением функции f (x ), если.

Теорема 1.6. (Локальная теорема Муавра-Лапласа ) Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n )

График функции имеет вид, изображённый на рис. 1.3.

Следует учитывать, что:

а) функция φ(x) чётная, т. е. φ(-x) = φ(x);

Для функции j (x ) составлены таблицы значений при x ³ 0. При x < 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция j (x ) чётная.

Теорема 1.7. (Интегральная теорема Муавра-Лапласа ) Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность P n (k 1 , k 2) того, что событие A появится в n испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, от k 1 до k 2 раз, приближенно равна

Здесь z 1 и z 2 определены в (1.14).

Пример 1.21. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найдите вероятность того, что из 500 высеянных семян взойдет: а) 425 семян; б) от 425 до 450 семян.

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, имеется последовательность независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли (опыт – посадка одного семени, событие A – семя взошло): n = 500, p = 0,85, q = 0,15. Поскольку число испытаний велико (n > 100), воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей асимптотическими формулами (1.10) и (1.13).

б) »F(3,13)–F(0)»0,49.

Если число испытаний n , проводимых по схеме Бернулли, велико, а вероятность p появления события A в каждом из них мала (p £ 0,1), то асимптотическая формула Лапласа непригодна. В этом случае используют асимптотическую формулу Пуассона

где l = np .

Пример 1.22. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найдите вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно 2; б) менее 2; в) хотя бы одну.

Решение. В данной задаче имеется последовательность независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли (опыт – проверка одной бутылки на целостность, событие A – бутылка разбилась): n = 1000, p = 0,003, q = 0,997. Т.к. число испытаний велико (n > 100), а вероятность p мала (p < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что l =3.

а) = 4,5e -3 » 0,224;

б) P 1000 (k < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4e -3 » 0,199;

в) P 1000 (k ³ 1) = 1 - P 1000 (k < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - e -3 » 0,95.

Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа являются следствиями более общей центральной предельной теоремы . Многие непрерывные случайные величины имеют нормальное распределение. Это обстоятельство во многом определяется тем, что суммирование большого числа случайных величин с самыми разными законами распределения приводит к нормальному распределению этой суммы.

Теорема . Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному .

Центральная предельная теорема имеет огромное значение для практики.

Допустим, определяется некоторый экономический показатель, например, потребление электроэнергии в городе за год. Величина суммарного потребления складывается из потребления энергии отдельными потребителями, которая имеет случайные значения с разными распределениями. Теорема утверждает, что в этом случае, какое бы распределение не имели отдельные составляющие, распределение результирующего потребления будет близко к нормальному.