Колебательные процессы - важный элемент современной науки и техники, поэтому их изучению всегда уделялось внимание, как одной из “вечных” проблем. Задача любого знания - не простое любопытство, а использование его в повседневной жизни. А для этого существуют и ежедневно появляются новые технические системы и механизмы. Они находятся в движении, проявляют свою сущность, выполняя какую-нибудь работу, либо, будучи неподвижными, сохраняют потенциальную возможность при определенных условиях перейти в состояние движения. А что есть движение? Не углубляясь в дебри, примем простейшее толкование: изменение положения материального тела относительно любой системы координат, которую условно считают неподвижной.

Среди огромного количества возможных вариантов движения особый интерес представляет колебательное, которое отличается тем, что система повторяет изменение своих координат (или физических величин) через определенные промежутки времени - циклы. Такие колебания называются периодическими или циклическими. Среди них выделяют отдельным классом у которых характерные признаки (скорость, ускорение, положение в пространстве и т.д.) изменяются во времени по гармоническому закону, т.е. имеющему синусоидальный вид. Замечательным свойством гармонических колебаний является то, что их комбинация представляет любые другие варианты, в т.ч. и негармонические. Очень важным понятием в физике является “фаза колебаний”, которое означает фиксацию положения колеблющегося тела в некоторый момент времени. Измеряется фаза в угловых единицах - радианах, достаточно условно, просто как удобный прием для объяснения периодических процессов. Другими словами, фаза определяет значение текущего состояния колебательной системы. Иначе и быть не может - ведь фаза колебаний является аргументом функции, которая описывает эти колебания. Истинное значение фазы для характера может означать координаты, скорость и другие физические параметры, изменяющиеся по гармоническому закону, но общим для них является временная зависимость.

Продемонстрировать, колебаний, совсем не сложно - для этого понадобится простейшая механическая система - нить, длиной r, и подвешенная на ней “материальная точка” - грузик. Закрепим нить в центре прямоугольной системы координат и заставим наш “маятник” крутиться. Допустим, что он охотно это делает с угловой скоростью w. Тогда за время t угол поворота груза составит φ = wt. Дополнительно в этом выражении должна быть учтена начальная фаза колебаний в виде угла φ0 - положение системы перед началом движения. Итак, полный угол поворота, фаза, вычисляется из соотношения φ = wt+ φ0. Тогда выражение для гармонической функции, а это проекция координаты груза на ось Х, можно записать:

x = А * cos(wt + φ0), где А - амплитуда колебания, в нашем случае равная r - радиусу нити.

Аналогично такая же проекция на ось Y запишется следующим образом:

у = А * sin(wt + φ0).

Следует понимать, что фаза колебаний означает в данном случае не меру поворота “угол”, а угловую меру времени, которая выражает время в единицах угла. За это время груз совершает поворот на некоторый угол, который можно однозначно определить, исходя из того, что для циклического колебания w = 2 * π /Т, где Т - период колебания. Следовательно, если одному периоду соответствует поворот на 2π радиан, то часть периода, время, можно пропорционально выразить углом как долей от полного поворота 2π.

Колебания не существуют сами по себе - звуки, свет, вибрация всегда являются суперпозицией, наложением, большого количества колебаний от разных источников. Безусловно, на результат наложения двух и более колебаний оказывают влияние их параметры, в т.ч. и фаза колебаний. Формула суммарного колебания, как правило, негармонического, при этом может иметь очень сложный вид, но от этого становится только интереснее. Как сказано выше, любое негармоническое колебание можно представить в виде большого числа гармонических с разной амплитудой, частотой и фазой. В математике такая операция называется “разложение функции в ряд” и широко используется при проведении расчетов, например, прочности конструкций и сооружений. Основой таких расчетов являются исследования гармонических колебаний с учетом всех параметров, в том числе и фазы.

Волны имеют вид

Уравнения плоской монохроматической электромагнитной

Мгновенные значения в любой точке связаны соотношением

Колеблются в одинаковых фазах, а их

Плоскости, перпендикулярной вектору скорости распростра-

Магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в

Электромагнитные волны являются поперечными,

Средах определяется формулой

Фазовая скорость электромагнитных волн в различных

Волну.

Пространстве процесс и представляет собой электромагнитную

Точке к другой. Этот периодический во времени и

Распространяющихся в окружающем пространстве от одной

Взаимных превращений электрического и магнитного полей,

Электромагнитное поле, то возникает последовательность

Возбуждать с помощью колеблющихся зарядов переменное

Уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Если

Существование электромагнитных волн вытекает из

Электромагнитные волны

Щими, будет слабым. Таким образом, осуществляется, например,

Напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляю-

Превышающее значение данной составляющей, в то время как

Идальных напряжений, нужной составляющей. Настроив

Сложного напряжения, равного сумме нескольких синусо-

Явление резонанса используют для выделения из

Равна величине обратной добротности контура, т. е.

Относительная ширина резонансной кривой

Добротность контура определяет остроту резонансных

Активному сопротивлению контура.

Таким образом, добротность обратно пропорциональна

С рез U

Конденсаторе может превышать приложенное напряжение, т.е.

Резонансные свойства контура характеризует доброт-

Установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

Iрез LC

Совпадает с собственной частотой контура

Следовательно, резонансная частота для силы тока

Рис. 1.22

R1 < R2 < R3

   . (1.96)

При ω →0, I = 0, так как при постоянном напряжении

ность Q, которая показывает, во сколько раз напряжение на

 (1.97)

При малых затуханиях ω рез ≈ ω0 и

Q  1 (1.98)

кривых. На рис. 1.23 изображена одна из резонансных кривых

для силы тока в контуре. Частоты ω1 и ω2 соответствуют току

max I  I 2 .

 

контур (посредством изменения R и C ) на требуемую частоту

, можно получить на конденсаторе напряжение в Q раз

настройка радиоприёмника на нужную длину волны.

    1 0 2

m max I

Рис. 1.7

Рис.1.23

 , (1.100)

 - скорость электромагнитных волн в вакууме.

поскольку векторы E

и H

напряжённости электрического и

нения волны, образуя правовинтовую систему (рис.1.24). При

этом векторы E

и Н

0 0   E   Н. (1.101)

cos() m Е  Е t  kx  , (1.102)

cos() m H  H t  kx  , (1.103)

где ω- частота волны, k = ω/υ = 2π/λ – волновое число, α-

Рис.1.24

Электромагнитные волны переносят энергию. Объёмная

Определение

Начальная фаза колебаний - это параметр, который совместно с амплитудой колебаний определяет начальное состояние колебательной системы. Величину начальной фазы задают в начальных условиях, то есть при $t=0$ c.

Рассмотрим гармонические колебания некоторого параметра $\xi $. Гармонические колебания описываются уравнением:

\[\xi =A{\cos ({\omega }_0t+\varphi)\ }\ \left(1\right),\]

где $A={\xi }_{max}$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая (круговая) частота колебаний. Параметр $\xi $ лежит в пределах $-A\le \xi \le $+A.

Определение фазы колебаний

Весь аргумент периодической функции (в данном случае косинуса:$\ ({\omega }_0t+\varphi)$), описывающей колебательный процесс, называют фазой колебаний. Величина фазы колебаний в начальный момент времени, то есть при $t=0$, ($\varphi $)- носит название начальной фазы. Устоявшегося обозначения фазы нет, у нас начальная фаза обозначена $\varphi $. Иногда, чтобы подчеркнуть, что начальная фаза относится к моменту времени $t=0$ к букве, обозначающей начальную фазу, добавляют индекс 0, пишут, например, ${\varphi }_0.$

Единицей измерения начальной фазы является единица измерения угла - радиан (рад) или градус.

Начальная фаза колебаний и способ возбуждения колебаний

Допустим, что при $t=0$ смещение системы от положения равновесия равно ${\xi }_0$, а начальная скорость ${\dot{\xi }}_0$. Тогда уравнение (1) принимает вид:

\[\xi \left(0\right)=A{\cos \varphi =\ }{\xi }_0\left(2\right);;\] \[\ \frac{d\xi }{dt}=-A{\omega }_0{\sin \varphi =\ }{\dot{\xi }}_0\to -A{\sin \varphi =\frac{{\dot{\xi }}_0}{{\omega }_0}\ }\ \left(3\right).\]

Возведем в квадрат оба уравнения (2) и сложим их:

\[{\xi }^2_0+{\left(\frac{{\dot{\xi }}_0}{{\omega }_0}\right)}^2=A^2\left(4\right).\]

Из выражения (4) имеем:

Разделим уравнение (3) на (2), получим:

Выражения (5) и (6) показывают, что начальная фаза и амплитуда зависят от начальных условий колебаний. Это значит, что амплитуда и начальная фаза зависят от способа возбуждения колебаний. Например, если груз пруженного маятника отклоняют от положения равновесия и на расстояние $x_0$ и отпускают без толчка, тогда уравнением движения маятника является уравнение:

с начальными условиями:

При таком возбуждении колебания пружинного маятника можно описывать выражением:

Сложение колебаний и начальная фаза

Тело, совершающее колебания, способно принимать участие в нескольких колебательных процессах одновременно. В таком случае возникает необходимость выяснить, каким будет результирующее колебание.

Допустим, что два колебания с равными частотами происходят по одной прямой. Уравнением результирующих колебаний будет выражение:

\[\xi ={\xi }_1+{\xi }_2=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right),\ }\]

тогда амплитуда суммарного колебания равна:

где $A_1$; $A_2$ - амплитуды складывающихся колебаний; ${\varphi }_2;;{\varphi }_1$ - начальные фазы суммирующихся колебаний. При этом начальную фазу полученного колебания ($\varphi $) вычисляют, применяя формулу:

Уравнение траектории точки, которая принимает участие в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами $A_1$и $A_2$ и начальными фазами ${\varphi }_2и{\varphi }_1$:

\[\frac{x^2}{A^2_1}+\frac{y^2}{A^2_2}-\frac{2xy}{A_1A_2}{\cos \left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\ }={sin}^2\left({\varphi }_2-{\varphi }_1\right)\left(12\right).\]

В случае равенства начальных фаз составляющих колебаний уравнение траектории имеет вид:

что говорит о движении точки по прямой линии.

Если разность начальных фаз складываемых колебаний составляет $\Delta \varphi ={\varphi }_2-{\varphi }_1=\frac{\pi }{2},$ уравнением траектории становится формула:

\[\frac{x^2}{A^2_1}+\frac{y^2}{A^2_2}=1\left(14\right),\]

что означает, траектория движения эллипс.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Колебания пружинного осциллятора возбуждены толчком из положения равновесия, при этом грузу сообщают мгновенную скорость, равную $v_0$. Запишите начальные условия для такого колебания и функцию $x(t)$, описывающую данные колебания.

Решение. Сообщение грузу пружинного маятника мгновенной скорости равной $v_0$ означает, что при описании его колебаний с помощью уравнения:

начальными условиями будут:

Подставим в выражение (1.1) $t=0$, имеем:

Так как $A\ne 0$, то ${\cos \left(\varphi \right)\ }=0\to \varphi =\pm \frac{\pi }{2}.$

Возьмем первую производную $\frac{dx}{dt}$ подставим момент времени $t=0$:

\[\dot{x}\left(0\right)=-A{\omega }_{0\ }{\sin \left(\varphi \right)\ }=v_0\to A=\frac{v_0}{{\omega }_{0\ }}\ \left(1.4\right).\]

Из (1.4) следует, что начальная фаза получается $\varphi =-\frac{\pi }{2}.$ Подставим, полученную начальную фазу и амплитуду в уравнение (1.1):

Ответ. $x(t)=\frac{v_0}{{\omega }_{0\ }}{\sin (\ }{\omega }_0t)$

Пример 2

Задание. Два колебания одного направления складываются. Уравнения этих колебаний имеют вид: $x_1={\cos \pi (t+\frac{1}{6})\ };;\ x_2=2{\cos \pi (t+\frac{1}{2})\ }$. Какова начальная фаза полученного колебания?

Решение. Запишем уравнение гармонических колебаний по оси X:

Преобразуем заданные в условии задачи уравнения к этому же виду:

\;;\ x_2=2{\cos \left[\pi t+\frac{\pi }{2}\right](2.2).\ }\]

Сравнивая уравнения (2.2) с (2.1) получим, что начальные фазы колебаний равны:

\[{\varphi }_1=\frac{\pi }{6};;\ {\varphi }_2=\frac{\pi }{2}.\]

Изобразим на рис.1 векторную диаграмму колебаний.

$tg\ \varphi $ суммарных колебаний можно найти из рис.1:

\ \[\varphi =arctg\ \left(2,87\right)\approx 70,9{}^\circ \]

Ответ. $\varphi =70,9{}^\circ $

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания широко распространены в окружающем мире и могут иметь самую различную природу. Это могут быть механические (маятник), электромагнитные (колебательный контур) и другие виды колебаний. Свободными , или собственными колебаниями, называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе, после того как она была выведена внешним воздействием из состояния равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса . Уравнение гармонических колебаний имеет вид: , где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия) ; - круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса - называется фазой колебаний . Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постоянная φ представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания .. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний. Период гармонических колебаний равен : T = 2π/.Математи́ческий ма́ятник - осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения . Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.Физический маятник - Осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

24. Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Формула Томсона.

Электромагнитные колебания - это колебания электрического и магнитного полей, которые сопровождаются периодическим изменением заряда, силы тока и напряжения. Простейшей системой, где могут возникнуть и существовать свободные электромагнитные колебания, является колебательный контур. Колебательный контур - это цепь, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора (рис. 29, а). Если конденсатор зарядить и замкнуть на катушку, то по катушке потечет ток (рис. 29, б). Когда конденсатор разрядится, ток в цепи не прекратится из-за самоиндукции в катушке. Индукционный ток, в соответствии с правилом Ленца, будет иметь то же направление и перезарядит конденсатор (рис. 29, в). Процесс будет повторяться (рис. 29, г) по аналогии с колебаниями маятниками. Таким образом, в колебательном контуре будут происходить электромагнитные колебания из-за превращения энергии электрического поля конденсатора () в энергию магнитного поля катушки с током (), и наоборот. Период электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре зависит от индуктивности катушки и емкости конденсатора и находится по формуле Томсона . Частота с периодом связана обратно пропорциональной зависимостью .

Фаза колебаний (φ) характеризует гармонические колебания.
Выражается фаза в угловых единицах - радианах.

При заданной амплитуде колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса: φ = ω 0 t .

Фаза колебаний определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы (значение координаты, скорости и ускоренияв) любой момент времени.

Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут различаться фазами.

Отношение указывает, сколько периодов прошло от момента начала колебаний.

График зависимости координаты колеблющейся точки от фазы

Гармонические колебания можно представить как с помощью функции синуса, так и косинуса, т.к.
синус отличается от косинуса сдвигом аргумента на .

Поэтому вместо формулы

х = х m cos ω 0 t

можно для описания гармонических колебаний использовать формулу

Но при этом начальная фаза , т. е. значение фазы в момент времени t = 0, равна не нулю, а .
В разных ситуациях удобно использовать синус или косинус.

Какой формулой пользоваться при расчетах?

1. Если в начале колебаний выводят маятник из положения равновесия, то удобнее пользоваться формулой с применением косинуса.
2. Если координата тела в начальный момент была бы равна нулю, то удобнее пользоваться формулой с применением синуса х = х m sin ω 0 t , т.к. при этом начальная фаза равна нулю.
3. Если в начальный момент времени (при t - 0) фаза колебаний равна φ, то уравнение колебаний можно записать в виде х = х m sin (ω 0 t + φ) .

Сдвиг фаз

Колебания, описываемые формулами через синус и косинус, отличаются друг от друга только фазами.
Разность фаз (или сдвиг фаз) этих колебаний составляет .
Графики зависимости координат от времени для двух гармонических колебаний, сдвинутых по фазе на :
где
график 1 - колебания, совершающиеся по синусоидальному закону,
график 2 - колебания, совершающиеся по закону косинуса