Р (|Х -М (Х )|< e )+ Р (|Х -М (Х )| e )= 1.

Отсюда интересующая нас вероятность

Р (|Х -М (Х )|< e )= 1- Р (|Х -М (Х )| e ). (*)

Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности Р (| Х-М (Х ) | e ).

Напишем выражение дисперсии случайной величины X :

D (X )= [x 1 -M (X )] 2 p 1 + [x 2 -M (X )] 2 p 2 +…+ [x n -M (X )]2p n .

Очевидно, все слагаемые этой суммы неотрицательны.

Отбросим те слагаемые, у которых |x i -M (Х )|< e (для оставшихся слагаемых |x j -M (Х )| e ), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

D (X ) [x k + 1 -M (Х )] 2 p k + 1 + [x k + 2 -M (X )] 2 p k + z + . .. +[x n -M (X )] 2 p n .

Заметим, что обе части неравенства |x j - М (Х )| e (j = k +1, k + 2, ..., п )положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство |x j - М (Х )| 2 e 2 Воспользуемся этим замечанием и, заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей |x j - М (Х )| 2 числом e 2 (при этом неравенство может лишь усилиться), получим

D (X ) e 2 (р к+ 1 + p k + 2 + … + р n ). (**)

По теореме сложения, сумма вероятностей р к+ 1 + p k + 2 + … + р n есть вероятность того, что X примет одно, безразлично какое, из значений x k + 1 , х к+ 2 ,....х п, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству |x j - М (Х )| e Отсюда следует, что сумма р к+ 1 + p k + 2 + … + р n выражает вероятность

P (|X - М (Х )| e).

Это соображение позволяет переписать неравенство (**) так:

D (X ) e 2 P (|X - М (Х )| e) ,

P (|X - М (Х )| e) D (X ) / e 2 (***)

Подставляя (***) в (*), окончательно получим

P (|X - М (Х )| <e) 1- D (X ) / e 2 ,

что и требовалось доказать.

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если D (X )> e 2 и, следовательно, D (X )/ e 2 > 1, то 1- D (Х )/ e 2 < 0; таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения неотрицательна, а это и без того очевидно, так как любая вероятность выражается неотрицательным числом.

Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Ниже мы воспользуемся этим неравенством для вывода теоремы Чебышева.

Теорема Чебышева

Теорема Чебышева. Если Х 1 , Х 2 ,…, Х n , ... -попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С ), то, как бы мало ни было положительное число е, вероятность неравенства

Другими словами, в условиях теоремы

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину - среднее арифметическое случайных величин

=(X 1 +X 2 +…+X n )/n.

Найдем математическое ожидание . Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим

M = . (*)

Применяя к величине неравенство Чебышева, имеем

Подставляя правую часть (***) в неравенство (**) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем

Отсюда, переходя к пределу при , получим

Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, окончательно можем написать

Теорема доказана.

Выше, формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. Очевидно, что если вновь допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через а; в рассматриваемом случае среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно а. Мы можем сформулировать теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

Если Х 1 , Х 2 , ..., Х п,... -попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число e > О, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место равенство

Сущность теоремы Чебышева

Сущность доказанной теоремы такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу (М (X 1)+ М (Х 2) +...+М (Х п ))/п (или к числу а в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин; она является ярким примером, подтверждающим справедливость учения диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.

Особое значение для характеристики распределения случайной величины имеют числовые характеристики, называемые начальными и центральными моментами.

Начальным моментом k -го порядка α k (Х ) случайной величины Х k -ой степени этой величины, т.е.

α k (Х ) = М (Х k ) (6.8)

Формула (6.8) в силу определения математического ожидания для различных случайных величин имеет свой вид, а именно, для дискретной случайной величины с конечным множеством значений

для непрерывной случайной величины

, (6.10)

где f (x ) - плотность распределения случайной величины Х .

Несобственный интеграл в формуле (6.10) превращается в определенный интеграл по конечному промежутку, если значения непрерывной случайной величины имеются только в этом промежутке.

Одна из ранее введенных числовых характеристик – математическое ожидание – является не чем иным, как начальным моментом первого порядка, или, как говорят, первым начальным моментом:

М (Х ) = α 1 (Х ).

В предыдущем пункте было введено понятие центрированной случайной величины Х – М (Х ). Если эту величину рассматривать в качестве основной, то для нее также могут быть найдены начальные моменты. Для самой величины Х эти моменты будут называться центральными.

Центральным моментом k -го порядка μ k (Х ) случайной величины Х называется математическое ожидание k -ой степени центрированной случайной величины, т.е.

μ k (Х ) = М [(Х – М (Х )) k ] (6.11)

Иначе говоря, центральный момент k -го порядка – это математическое ожидание k -ой степени отклонения.

Центральный момент k -го порядка для дискретной случайной величины с конечным множеством значений находится по формуле:

, (6.12)

для непрерывной случайной величины по формуле:

(6.13)

В дальнейшем, когда будет понятно о какой случайной величине идет речь, то ее в обозначениях начальных и центральных моментах писать не будем, т.е. вместо α k (Х ) и μ k (Х ) будем писать просто α k и μ k .

Очевидно, что центральный момент первого порядка равен нулю, так как это ни что иное, как математическое ожидание отклонения, которое равно нулю по ранее доказанному, т.е. .

Нетрудно понять, что центральный момент второго порядка случайной величины Х совпадает с дисперсией этой же случайной величины, т.е.

Кроме этого, существуют следующие формулы, связывающие начальные и центральные моменты:

Итак, моменты первого и второго порядков (математическое ожидание и дисперсия) характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разброса значений. Для более подробного описания распределения служат моменты более высоких порядков. Покажем это.

Предположим, что распределение случайной величины симметрично относительно своего математического ожидания. Тогда все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны нулю. Это объясняется тем, что в силу симметричности распределения для каждого положительного значения величины Х − М (Х ) существует равное ему по модулю отрицательное значение, при этом вероятности этих значений равны. Следовательно, сумма в формуле (6.12) состоит из нескольких пар, равных по модулю, но разных по знаку слагаемых, которые при суммировании взаимно уничтожаются. Таким образом, вся сумма, т.е. центральный момент любого нечетного порядка дискретной случайной величины равен нулю. Аналогично, центральный момент любого нечетного порядка непрерывной случайной величины равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции.

Естественно предположить, что если центральный момент нечетного порядка отличен от нуля, то и само распределение не будет симметрично относительно своего математического ожидания. При этом, чем больше центральный момент отличается от нуля, тем больше асимметрия в распределении. Возьмем в качестве характеристики асимметрии центральный момент наименьшего нечетного порядка. Так как центральный момент первого порядка равен нулю для случайных величин, имеющих любые распределения, то для этой цели лучше использовать центральный момент третьего порядка. Однако этот момент имеет размерность куба случайной величины. Чтобы избавиться от этого недостатка и перейти к безразмерной случайной величине, делят значение центрального момента на куб среднеквадратического отклонения.

Коэффициентом асимметрии А s или просто асимметрией называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднеквадратического отклонения, т.е.

Иногда асимметрию называют "скошенностью" и обозначают S k , что происходит от английского слова skew – "косой".

Если коэффициент асимметрии отрицательный, то на его величину достаточно сильно влияние отрицательных слагаемых (отклонений) и распределение будет иметь левую асимметрию , а график (кривая) распределения является более пологим слева от математического ожидания. Если коэффициент положителен, то асимметрия правая , а кривая более полога справа от математического ожидания (рис.6.1).

Как было показано, для характеристики разброса значений случайной величины вокруг своего математического ожидания служит второй центральный момент, т.е. дисперсия. Если этот момент имеет большое числовое значение, то данная случайная величина имеет большой разброс значений и соответствующая кривая распределения имеет более пологий вид, чем кривая, для которой второй центральный момент имеет меньшее значение. Поэтому второй центральный момент характеризует, в какой-то степени, "плосковершинность" или "островершинность" кривой распределения. Однако эта характеристика не очень удобная. Центральный момент второго порядка имеет размерность равную квадрату размерности случайной величины. Если попытаться получить безразмерную величину, поделив значение момента на квадрат среднеквадратического отклонения, то для любой случайной величины получим: . Таким образом, этот коэффициент не может являться какой-либо характеристикой распределения случайной величины. Он одинаков для всех распределений. В этом случае можно использовать центральный момент четвертого порядка.

Эксцессом E k называется величина, определяемая по формуле

(6.15)

Эксцесс, в основном, применяется для непрерывных случайных величин и служит для характеристики, так называемой "крутости" кривой распределения, или иначе, как уже было сказано, для характеристики "плосковершинности" или "островершинности" кривой распределения. В качестве эталонной кривой распределения считается кривая нормального распределения (о нем будет подробно идти речь в следующем главе). Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет место равенство . Поэтому эксцесс, заданный формулой (6.15), служит для сравнения данного распределения с нормальным, у которого эксцесс получается равным нулю.

Если для какой-то случайной величины получен положительный эксцесс, то кривая распределения этой величины является более островершинной, чем кривая нормального распределения. Если же эксцесс отрицателен, то кривая является более плосковершинной по сравнению с кривой нормального распределения (рис. 6.2).

Перейдем теперь к конкретным видам законов распределения дискретной и непрерывной случайных величин.

Для характеристики различных свойств случайных величин используются начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k- го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой величины:

α К = М .

Для дискретной случайной величины

Ц

Х = Х – М[Х]

Условимся отличать центрированную с.в. значком 0 наверху.

Центральным моментом S -го порядка называется математическое ожидание S-й степени центрированной случайной величины

 S = M [(X – m x) S ].

Для дискретной случайной величины

 S = (x i – m x) S p i .

Для непрерывной случайной величины

.

Свойства моментов случайных величин

начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию (по определению):

α 1 = М = m x .

центральный момент первого порядка всегда равен нулю (докажем на примере дискретной с. в.):

 1 = M [(X – m x) 1 ] =(x i – m x) p i =x i p i –m x p i = m x –m x p i =m x –m x = 0.

центральный момент второго порядка характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Центральный момент второго порядка называется дисперсией с. в. и обозначается D[X] или D x

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение σ х = √D x .

σ х – также как и D x характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания но имеет размерность случайной величины.

второй начальный момент α 2 характеризует степень разброса случайной величины вокруг ее математического ожидания, а также смещение случайной величины на числовой оси

Связь первого и второго начальных моментов с дисперсией (на примере непрерывной с. в.):

третий центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень асимметрии распределения случайной величины.

f(x ср) > f(-x ср)

Для симметричных законов распределения m 3 = 0.

Для характеристики только степени асимметрии используется так называемый коэффициент асимметрии

Для симметричного закона распределения Sk = 0

четвертый центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень островершинности закона распределения.

Рассмотрим дискретную случайную величину , заданную законом распределения:

Математическое ожидание равно:

Видим, что значительно больше . Это можно объяснить тем, что значение x = –150, намного отличающееся от остальных значений, при возведении в квадрат резко возросло; вероятность же этого значения мала (0,02). Таким образом, переход от M(X) к M(X 2) позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание таких значений случайной величины, которые велики по абсолютной величине, но вероятность их появления мала. Разумеется, если бы величина имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X 2 , а тем более к величинам , и т.д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины, причем не только дискретной, но и непрерывной.

Определение 6.10. Начальным моментом го порядка случайной величины называется математическое ожидание величины :

В частности:

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно записать иначе

Кроме моментов случайной величины целесообразно рассматривать моменты отклонения .

Определение 6.11. Центральным моментом ого порядка случайной величины называется математическое ожидание величины .

(6.23)

В частности,

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Так, сравнивая (6.22) и (6.24), получим:

Нетрудно доказать и следующие соотношения:

Аналогично:

Моменты более высоких порядков используются редко. В определении центральных моментов используются отклонения случайной величины от ее математического ожидания (центра). Поэтому моменты называются центральными .

В определении начальных моментов также используются отклонения случайной величины, но не от математического ожидания, а от точки, абсцисса которой равна нулю, являющейся началом координат. Поэтому моменты называются начальными .

В случае непрерывной случайной величины начальный момент го порядка вычисляется по формуле:

(6.27)

Центральный момент го порядка непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:

(6.28)

Предположим, что распределение случайной величины симметрично относительно математического ожидания. Тогда все центральные моменты нечетного порядка равны нулю. Это можно объяснить тем, что для каждого положительного значения величины X-M(X) найдется (в силу симметричности распределения относительно M(X) ) равное ему по абсолютной величине отрицательное значение этой величины, причем их вероятности будут одинаковыми.

Если центральный момент нечетного порядка не равны нулю, то это говорит об асимметричности распределения, причем чем больше момент, тем больше асимметрия. Поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения разумнее всего взять какой-нибудь нечетный центральный момент. Так как центральный момент первого порядка всегда равен нулю, то целесообразно для этой цели использовать центральный момент третьего порядка.

Определение 6.12. Коэффициентом асимметрии называется величина:

Если коэффициент асимметрии отрицательный, то это говорит о большом влиянии на величину отрицательных отклонений. В этом случае кривая распределения (рис. 6.1а ) более полога слева от . Если коэффициент положительный, а значит, преобладает влияние положительных отклонений, то кривая распределения более пологая справа.

Как известно, второй центральный момент (дисперсии) служит для характеристики рассеивания значений случайной величины вокруг ее математического ожидания. Если этот момент для некоторой случайной величины достаточно большой, т.е. рассеивание велико, то соответствующая кривая распределения более пологая, чем кривая распределения случайной величины, имеющей меньший момент второго порядка. Однако моментне может служить для этой цели в силу того, что для любого распределения .

В этом случае используется центральный момент четвертого порядка.

Определение 6.13. Эксцессом называется величина:

Для наиболее распространенного в природе нормального закона распределения отношение . Поэтому эксцесс, заданный формулой (6.28) служит для сравнения данного распределения с нормальным (рис. 6.1b ).

Очевидно, что начальный выборочный момент нулевого порядка всегда равен 1, а начальный выборочный момент первого порядка

Определение 2.19 Центральным моментом k- го порядка выборки x 1 , x 2 , …, x n называется среднее k-тых степеней отклонений данных выборочных значений от среднего , то есть

Из данного определения следует, что центральный выборочный момент нулевого порядка равен 1. При k = 1 получается, что

, а при k= 2 имеем

.

Следовательно, выборочная дисперсия является центральным выборочным моментом второго порядка. Для вычисления центрального выборочного момента третьего порядка используем стандартные алгебраические преобразования:

В результате получилось выражение центрального момента третьего порядка через начальные моменты. Таким же способом находятся выражения для центральных моментов более высоких порядков. Приведем ряд формул, которые на практике используются чаще других:

При вычислении начальных и центральных выборочных моментов используются приемы и таблицы, аналогичные тем, которые применялись ранее для вычисления среднего и дисперсии .

Пример 2.28 В ходе социологического исследования собраны ответы 25 рядовых сотрудников учреждения о количестве стрессовых ситуаций, возникавших на работе в течение недели. Данные опроса приведены в следующей таблице. Найдем начальные и центральные выборочные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Таблица 2.20 – Данные исследования стрессовых ситуаций

Необходимые промежуточные расчеты будем фиксировать в следующей таблице.

Таблица 2.21 – Вычисления начальных и центральных моментов

Объем выборки n = 25. Вычислим начальные выборочные моменты:

; ;

; .

Используя соответствующие формулы, вычислим центральные выборочные моменты:

Округлим полученные значения центральных моментов:

; ; ;

Начальные и центральные выборочные моменты являются аналогами соответствующих понятий теоретических моментов всей генеральной совокупности значений исследуемой случайной величины.

Определение 2.20 Начальным моментом k -го порядка случайной величины Х называется число , равное математическому ожиданию k -й степени величины Х:

.

Для вычисления начального момента k-го порядка используются следующие формулы:

Очевидно, что математическое ожидание случайной величины является начальным моментом первого порядка, а дисперсия – центральным моментом второго порядка. Как теоретические, так и выборочные моменты используются при исследовании закона распределения случайной величины. Все центральные моменты четных порядков, как и дисперсия, характеризуют рассеяние значений случайной величины вокруг математического ожидания. Центральные моменты нечетных порядков выявляют асимметрию распределения относительно центра. В частности, если значения случайной величины распределены симметрично относительно математического ожидания, то все ее существующие моменты нечетных порядков равны нулю. С другой стороны, существование отличного от нуля центрального момента нечетного порядка показывает наличие асимметрии распределения.